Esercizi ellisse

Quale???

Trova l'equazione dell'ellisse riferita ai propri assi che ha i fuochi sull'asse x distanti 8 e che passa per il punto P(3; - 12/5) Verifica che il punto V(5; 1) è esterno all'ellisse e determina le equazioni delle due tangenti all'ellisse condotte da V. Trova l'equazione della retta passante per i due punti di tangenza A e B e calcola l'area del triangolo PAB. [ 9x ^ 2 + 25y ^ 2 - 225 = 0 ;4x+5y-25=0; x = 5; 9x + x+5y-45= 0; area = 3]

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x^2/α + y^2/β = 1

c = 8/2---> c = 4

γ^2 = 4^2 = α - β

3^2/α + (- 12/5)^2/β = 1  passa per P

Sistema:

{9/α + 144/(25·β) = 1

{α - β = 16

per sostituzione: α = β + 16

9/(β + 16) + 144/(25·β) - 1 = 0

(- 25·β^2 - 31·β + 2304)/(25·β·(β + 16)) = 0

- 25·β^2 - 31·β + 2304 = 0

risolvo: β = - 256/25 ∨ β = 9

(scarto la negativa)

α = 9 + 16---> α = 25

x^2/25 + y^2/9 = 1---> 9·x^2 + 25·y^2 - 225 = 0

[5, 1] è esterno: 5^2/25 + 1^2/9 = 10/9>1 esterno

Retta passante per i punti di tangenza (polare)

Formule di sdoppiamento:

9·(5·x) + 25·(1·y) - 225 = 0---> 9·x + 5·y - 45 = 0

Punti di tangenza:

{9·x^2 + 25·y^2 - 225 = 0

{9·x + 5·y - 45 = 0

risolvo: [x = 4 ∧ y = 9/5, x = 5 ∧ y = 0]

[4, 9/5]  ; [5, 0]

Rette tangenti:

(y - 9/5)/(x - 4) = (1 - 9/5)/(5 - 4)

y = 5 - 4·x/5---> 4·x + 5·y - 25 = 0

x = 5  l'altra!!

L'area la lascio calcolare a te...