Calcola il seguente limite utilizzando il teorema di De l'Hopital
limx->inf xln(e^x+1)
Calcola il seguente limite utilizzando il teorema di De l'Hopital
limx->inf xln(e^x+1)
Ci sto pensando, mi piacerebbe trovare un metodo più semplice e lineare
Trovato!
Prima di tutto cambiamo la scrittura:
$ \lim_{x \to - \infty} x ln (e^x + 1) =\lim_{x\to - \infty } \frac {ln (e^x + 1)}{\frac 1 {x}} $
Applichiamo quindi il T. di De l'Hopital:
$\lim_{x\to - \infty } \frac {ln (e^x + 1)}{\frac 1 {x}} = \lim_{x\to - \infty } \frac {\frac {e^x}{e^x + 1}}{- \frac {1} {x^2}} $
Portiamo ad una scrittura più "igienica":
$ \lim_{x\to - \infty } \frac {\frac {e^x}{e^x + 1}}{- \frac {1} {x^2}} = \lim_{x\to - \infty } - \frac {x^2 e^x}{e^x+1} $
A questo punto cambiamo nuovamente la scrittura e calcoliamo:
$ \lim_{x\to - \infty } - \frac {x^2 e^x}{e^x+1} = \lim_{x \to -\infty} - \frac {\frac {x^2}{e^{-x}}}{e^x + 1} = - \frac 0 1 $ = 0
(NB nel rapporto a numeratore si potrebbe usare De l'Hopital oppure utilizzare gli ordini di infinito)
In caso di dubbi su alcuni passaggi resto a disposizione
lim_x-> -oo x ln ( 1 + e^x ) =
< cambio di variabile >
= lim_x-> +oo ( - x ln ( 1 + e^(-x) )
é una forma indeterminata oo*0.
Se x->+oo , allora e^(-x)->0
e poiché lim_u->0 ln(1 + u)/ u = 1,
lo riconduci a lim_x->+oo - x * e^(-x) =
= - lim_x->+oo x/e^x
che é indeterminato del tipo oo/oo
Applicando la regola di De L'Hospital
- lim_x->+oo 1/e^x = - "1/+oo" = 0.
Aggiunta
Per una strategia che usi solo la Regola di De L'Hospital
lo riscrivi lim_x->-oo ln (1 + e^(x))/(1/x)
come fa Symbolab.
lim_x->-oo e^x/(1+ e^x) : (-1/x^2) =
= - lim_x->-oo x^2 e^x/(1+ e^x) =
= - lim_x->oo x^2 e^x =
= - lim_x->+oo x^2 e^(-x) =
= - lim_x->+oo x^2/e^x =
= - lim_x->+oo 2x / e^x =
= -2 lim_x->+oo 1/e^x =
= -2 * "1/+oo" = 0