Date le funzioni $f(x)=x^{3}-3 x$ e $g(x)=e^{-3 x}$, dimostra mediante il teorema di Cauchy che esiste almeno una soluzione interna all'intervallo $[0 ; 1]$ per l'equazione $\left(1-e^{3}\right)\left(1-x^{2}\right)+2 e^{3(1-x)}=0$.
Teorema di Cauchy
Se $f(x)$ e $g(x)$ sono funzioni:
- continue nell'intervallo chiuso e limitato $[a, b]$
- derivabili nei punti interni dell'intervallo $(a, b)$
- e inoltre $g^{\prime}(c) \neq 0$ in ogni punto interno dell'intervallo $(a, b)$
allora esiste almeno un punto $c$ interno all'intervallo $(a, b)$ tale che:
$$
\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
$$
