[Risolto] Esempio di una funzione lim

• Esempio.

Consideriamo la funzione h(x) definita come:

$ h(x) := ln(1+ln(1+|a|+x)); \qquad \forall a \in ℝ $

i) Verifichiamo che sia una buona definizione, cioè che il suo dominio contenga quello indicato nel testo

i) Dominio h(x).

$ 1+ln(1+|a|+x)) > 0 \,\, \implies x \gt (\frac{1}{e}-1) - |a|$

Considerando i casi a ≥ 0 & a < 0 si verifica che il dominio di h(x) contiene l'intervallo $(a, +\infty); \quad \forall a \in ℝ $

La funzione proposta è quindi:

$\begin{aligned}f(x) \colon (a,+\infty) &\to ℝ\\ x &\mapsto ln(1+ln(1+|a|+x)) \end{aligned}; \qquad \forall a \in ℝ $

• Proprietà f(x).
  • • • E' continua, essendo composizione di funzioni elementari continue.
      • E' crescente, essendo composizione di due funzioni strettamente crescenti.
      • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
      • e infine

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac {f(x^3)}{f(x)} = 1$

Per dimostrarlo abbiamo applicato de l'Hôpital ottenendo come limite delle derivate il limite seguente

$\frac {3x^2 (1+|a|+x) \cdot (ln(1+|a|+x) +1)}{(1+|a|+x^3) \cdot (ln(1+|a|+x^3) +1)}$

e notando che il limite dei rapporto dei due fattori contenenti il logaritmo è pari a $\frac{1}{3}$ mentre il rapporto degli altri due vale 3. Conclusione il limite del rapporto delle derivate vale 1 quindi il limite cercato varrà 1.

• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x^2)}{f(x)} = 1$

 notiamo che valgono le diseguaglianze

$x < x^2 < x^3; \qquad \forall x \gt 1$

essendo f(x) crescente avremo

$ f(x) \lt f(x^2) \lt f(x^3); \qquad \forall x \gt 1$

in più essendo la funzione divergente a +∞, per x → +∞ possiamo dire che esiste un $x_0$ tale che nell'intervallo $(x_0, +\infty)$ la funzione è positiva. Detto questo possiamo procedere alla divisione per f(x)

$ 1 \lt \frac {f(x^2)}{f(x)} \lt \frac {f(x^3)}{f(x)}$

passando al limite per x → +∞ avremo

$ 1 \le \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac {f(x^2)}{f(x)} \le 1$

Per il teorema del confronto a due si deduce la tesi.

Consideriamo la funzione:

$f(x^{\alpha}) = \frac{ln(x^{\alpha})}{\alpha}$ con $\alpha>0$

Per $\alpha=1$ la funzione si riduce a:

$ f(x)= \frac{ln(x^1)}{1} = lnx$

Vediamo se soddisfa le proprietà richieste:

• La funzione $f$ è continua e crescente in $(0, +\infty)$, $\forall \alpha >0$

   

• $lim_{x\rightarrow +\infty} f(x^{\alpha}) =  lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{ln(x^\alpha)}{\alpha} = lim_{x\rightarrow +\infty} ln(x) = +\infty$ $\forall \alpha > 0$

   

• $lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x^3)}{f(x)} =  lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\frac{ln(x^3)}{3}}{\frac{ln(x)}{1}} = lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{ln(x^3)}{3 lnx} = 1$

Dunque $f$ gode della proprietà $\phi$.

Sia ora $f$ una generica funzione che gode della proprietà $\phi$.

Nota che la composizione di funzioni crescenti, è ancora una funzione crescente, dunque $f(x)$, $f(x^2)$ e $f(x^3)$ sono tutte funzioni crescenti, dato che lo sono $x$, $x^2$ e $x^3$ per $x\in (a, +\infty)$.

Possiamo dunque dire che, per $x\in (a, +\infty)$ abbiamo che:

$ x < x^2 < x^3$

e dunque anche

$ f(x) < f(x^2) < f(x^3)$

per il teorema della permanenza del segno, essendo $f(x) \rightarrow +\infty$, dev'essere $f(x)>0$ per $x > x_0$, dunque possiamo anche scrivere:

$ \frac{f(x)}{f(x)} < \frac{f(x^2)}{f(x)} < \frac{f(x^3)}{f(x)}$

e cioè:

$ 1 < \frac{f(x^2)}{f(x)} < \frac{f(x^3)}{f(x)}$

Passando al limite:

$ lim_{x\rightarrow +\infty}1 \leq lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x^2)}{f(x)} \leq lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x^3)}{f(x)}$

Il primo e l'ultimo limite danno come risultato $l=1$ (il primo ovviamente, il terzo grazie alla proprietà $\phi$).

Pertanto per il teorema dei carabinieri abbiamo che anche

$ lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x^2)}{f(x)} = 1$

Noemi