[Risolto] es sui fasci di rette

(2·k + 1)·x - 4·k·y + 3 + 2·k = 0

{(2·0 + 1)·x - 4·0·y + 3 + 2·0 = 0  per k = 0

{(2·1 + 1)·x - 4·1·y + 3 + 2·1 = 0  per k = 1

risolvo:

{x + 3 = 0

{3·x - 4·y + 5 = 0

ottengo: [x = -3 ∧ y = -1]

[-3, -1] centro proprio del fascio

Rette generatrici

Riscrivo:

k·(2·x - 4·y + 2) + x + 3 = 0

Anche qui:

{2·x - 4·y + 2 = 0

{x + 3 = 0

mettendo a sistema le due generatrici ottengo ancora: [x = -3 ∧ y = -1]

Parallela asse x: y = -1

Parallela asse y : x = -3

Passante per l'origine:

3 + 2·k = 0-----> k = - 3/2

(2·(- 3/2) + 1)·x - 4·(- 3/2)·y + 3 + 2·(- 3/2) = 0

6·y - 2·x = 0-----> y = x/3

(2·k + 1)·x - 4·k·y + 3 + 2·k = 0

(a = 2·k + 1; b = - 4·k; c = 3 + 2·k)

1 = ABS((2·k + 1)·0 + (- 4·k)·0 + (3 + 2·k))/√((2·k + 1)^2 + (- 4·k)^2)

(distanza dall'origine =1)

Risolvo ed ottengo: k = - 1/2 ∨ k = 1

(2·(- 1/2) + 1)·x - 4·(- 1/2)·y + 3 + 2·(- 1/2) = 0

2·y + 2 = 0-----> y = -1

(2·1 + 1)·x - 4·1·y + 3 + 2·1 = 0

3·x - 4·y + 5 = 0

Il fascio di rette assegnato è improprio:

(4·k - 4)·x - (k - 1)·y - 3·k - 4 = 0

k·(4·x - y - 3) - 4·x + y - 4 = 0

le rette generatrici sono infatti parallele:

{4·x - y - 3 = 0

{- 4·x + y - 4 = 0

(sistema impossibile)

Risulta anche:

y = 4·x + (3·k + 4)/(1 - k)

Bisogna trovarne una che passi per (-3,-1) per rispondere all'ultima domanda.

-1 = 4·(-3) + (3·k + 4)/(1 - k)

risolvendo si ottiene: k = 1/2

y = 4·x + (3·(1/2) + 4)/(1 - 1/2)

y = 4·x + 11

Retta comune ai due fasci.

Il fascio
* r(k) ≡ (2*k + 1)*x - 4*k*y + (2*k + 3) = 0
ha parametrici tutt'e tre i coefficienti, quindi ha tre casi particolari e un caso generale che ne comprende due come sottocasi.
Potendosi azzerare i coefficienti di entrambe le variabili è un fascio proprio centrato nell'intersezione delle rette parallele agli assi coordinati.
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1) Per k = - 3/2, retta per l'origine (quesito c).
* r(- 3/2) ≡ y = x/3
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2) Per k = - 1/2, retta parallela all'asse x (quesito b).
* r(- 1/2) ≡ y = - 1
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3) Per k = 0, retta parallela all'asse y (quesito b).
* r(0) ≡ x = - 3
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4) Per k != 0, caso generale che sussume 1&2.
* r(k) ≡ y = ((2*k + 1)/(4*k))*x + (2*k + 3)/(4*k)
con pendenza
* m = (2*k + 1)/(4*k) ≡ (k = 1/(4*m - 2)) & (m != 1/2)
e intercetta
* q = 3*m - 1
cioè
* r(m) ≡ y = m*(x + 3) - 1
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Quindi il fascio r(k)
* è proprio
* ha il centro C(- 3, - 1) (quesito a)
* non può generare la retta per C di pendenza 1/2 per nessun valore di k
** y = (x + 3)/2 - 1 ≡ retta esclusa
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Quesito d
Le rette a distanza uno dall'origine sono quelle tangenti la circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 = 1
per le quali il sistema
* r(m) & Γ ≡ (y = m*(x + 3) - 1) & (x^2 + y^2 = 1)
ha risolvente
* x^2 + (m*(x + 3) - 1)^2 - 1 = 0 ≡
≡ (m^2 + 1)*x^2 + 2*m*(3*m - 1)*x + 3*m*(3*m - 2) = 0
con discriminante nullo
* Δ(m) = 8(3 - 4*m)*m = 0 ≡
≡ (m = 0) oppure (m = 3/4) ≡
≡ ((2*k + 1)/(4*k) = 0) oppure ((2*k + 1)/(4*k) = 3/4) ≡
≡ (k = - 1/2, caso 2) oppure (k = 1)
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Quesito e1
Il fascio
* s(k) ≡ (4*k - 4)*x - (k - 1)*y - (3*k + 4) = 0
ha parametrici tutt'e tre i coefficienti, ma quelli delle variabili sono proporzionali [4*k - 4 = 4*(k - 1)] e non possono azzerarsi per non dar luogo alla contraddizione - 7 = 0; quindi s(k) ha solo un caso particolare (k = - 4/3, per l'origine) e il caso generale, che lo comprende,
* s(k) ≡ y = 4*x - (3*k + 4)/(k - 1)
risultando così un fascio improprio di pendenza quattro.
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Quesito e2
Con la pendenza quattro si ha
* k = 1/(4*4 - 2) = 1/14
* r(4) ≡ y = 4*(x + 3) - 1
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Resta solo la parte ignorante del Quesito a.
"LE rette generatrici del fascio", con l'articolo determinativo, NON ESISTONO.
Per definizione, il fascio è generato dalla combinazione lineare di due sue rette QUALSIASI.