a) 11 centro e le rette generatrici b) Le rette parallele agli assi coordinati c) La retta passante dall' origine d) I valori di $k$ tale in modo che le rette del fascio abbiano distanza dall'origine uguale a 1. Dopo aver individuato la tipologia del fascio $(4 \mathrm{k}-4) \mathrm{x}-(\mathrm{k}-1) \mathrm{y}-3 \mathrm{k}-4=0$ determina, se esiste, la retta appartenente ad entrambi i fasci.
Il fascio * r(k) ≡ (2*k + 1)*x - 4*k*y + (2*k + 3) = 0 ha parametrici tutt'e tre i coefficienti, quindi ha tre casi particolari e un caso generale che ne comprende due come sottocasi. Potendosi azzerare i coefficienti di entrambe le variabili è un fascio proprio centrato nell'intersezione delle rette parallele agli assi coordinati. --------------- 1) Per k = - 3/2, retta per l'origine (quesito c). * r(- 3/2) ≡ y = x/3 --------------- 2) Per k = - 1/2, retta parallela all'asse x (quesito b). * r(- 1/2) ≡ y = - 1 --------------- 3) Per k = 0, retta parallela all'asse y (quesito b). * r(0) ≡ x = - 3 --------------- 4) Per k != 0, caso generale che sussume 1&2. * r(k) ≡ y = ((2*k + 1)/(4*k))*x + (2*k + 3)/(4*k) con pendenza * m = (2*k + 1)/(4*k) ≡ (k = 1/(4*m - 2)) & (m != 1/2) e intercetta * q = 3*m - 1 cioè * r(m) ≡ y = m*(x + 3) - 1 --------------- Quindi il fascio r(k) * è proprio * ha il centro C(- 3, - 1) (quesito a) * non può generare la retta per C di pendenza 1/2 per nessun valore di k ** y = (x + 3)/2 - 1 ≡ retta esclusa ------------------------------ Quesito d Le rette a distanza uno dall'origine sono quelle tangenti la circonferenza * Γ ≡ x^2 + y^2 = 1 per le quali il sistema * r(m) & Γ ≡ (y = m*(x + 3) - 1) & (x^2 + y^2 = 1) ha risolvente * x^2 + (m*(x + 3) - 1)^2 - 1 = 0 ≡ ≡ (m^2 + 1)*x^2 + 2*m*(3*m - 1)*x + 3*m*(3*m - 2) = 0 con discriminante nullo * Δ(m) = 8(3 - 4*m)*m = 0 ≡ ≡ (m = 0) oppure (m = 3/4) ≡ ≡ ((2*k + 1)/(4*k) = 0) oppure ((2*k + 1)/(4*k) = 3/4) ≡ ≡ (k = - 1/2, caso 2) oppure (k = 1) ------------------------------ Quesito e1 Il fascio * s(k) ≡ (4*k - 4)*x - (k - 1)*y - (3*k + 4) = 0 ha parametrici tutt'e tre i coefficienti, ma quelli delle variabili sono proporzionali [4*k - 4 = 4*(k - 1)] e non possono azzerarsi per non dar luogo alla contraddizione - 7 = 0; quindi s(k) ha solo un caso particolare (k = - 4/3, per l'origine) e il caso generale, che lo comprende, * s(k) ≡ y = 4*x - (3*k + 4)/(k - 1) risultando così un fascio improprio di pendenza quattro. ------------------------------ Quesito e2 Con la pendenza quattro si ha * k = 1/(4*4 - 2) = 1/14 * r(4) ≡ y = 4*(x + 3) - 1 ------------------------------ Resta solo la parte ignorante del Quesito a. "LE rette generatrici del fascio", con l'articolo determinativo, NON ESISTONO. Per definizione, il fascio è generato dalla combinazione lineare di due sue rette QUALSIASI.