Es. riassuntivi integrali immediati.

Integrazione per parti:

Se in un intervallo [a ; b] due funzioni f(x) e g(x) sono derivabili con derivata continua, allora sono definiti gli integrali:

 ∫f(x) * g'(x) dx = f(x) * g(x) -  ∫f'(x) * g(x) dx;

La funzione f(x) è detta fattore finito.

La funzione g'(x) è detta fattore differenziale.

∫sen^2(x/2) dx = ∫sen(x/2) * sen(x/2) dx;

f(x) = sen(x/2);  

f'(x) = 1/2 * cos(x/2);  derivata di f(x),

g'(x) = sen(x/2); 

g(x) = - 2 * cos(x/2), primitiva di g'(x).

∫sen(x/2) * sen(x/2) dx =

= sen(x/2) * [- 2 * cos(x/2)] - ∫[1/2 * cos(x/2)] * [ - 2 * cos(x/2)] dx;

= - 2 sen(x/2) * cos(x/2) - ∫[- 1 * cos^2(x/2)] dx;

= - 2 sen(x/2) * cos(x/2) + ∫[1 - sen^2(x/2)] dx =

= - 2 sen(x/2) * cos(x/2) + ∫1 dx - ∫[ sen^2(x/2)] dx ;

∫sen^2(x/2) dx = - 2 sen(x/2) * cos(x/2) + ∫1 dx - ∫[ sen^2(x/2)] dx ;

∫sen^2(x/2) dx + ∫sen^2(x/2) dx = - 2 sen(x/2) * cos(x/2) + ∫1 dx;

2 * ∫sen^2(x/2) dx = - 2 sen(x/2) * cos(x/2) + x;

∫sen^2(x/2) dx = - sen(x/2) * cos(x/2) + x/2 + c

formula di addizione:

sen(x/2 + x/2) = 2 sen(x/2) * cos(x/2);

sen(x) = 2 sen(x/2) * cos(x/2);

sen(x/2) * cos(x/2) = (sen x) / 2;

∫sen^2(x/2) dx = - (sen x) / 2 + x / 2 + c.

@alby   formula di bisezione, si fa molto prima; (non me la ricordavo):

sen^2(x/2) = [1 - cos(x)] / 2;

∫sen^2(x/2) dx = ∫[1 - cos(x)] /2 dx =

= ∫[1/2] dx - ∫cos(x) / 2 dx =

=  1/2 x - sen(x) /2 + c.

Ciao.