Es. Riassuntivi INTEGRALI.

Per ottenere la derivata prima della funzione f(x) è sufficiente integrare la derivata seconda e scegliere quella che soddisfa la condizione.

$ f'(x) = \int sin x - cos(2x) \, dx = -cos x(1+sin x) + c $

La condizione. Le rette parallele alla retta y = 2x hanno coefficiente angolare m = 2.

La retta tangente alla nostra funzione nel punto $ T(\frac{\pi}{2} , 0)$ deve avere derivata prima eguale a 2.

$ f'(\frac{\pi}{2}) = -cos x(1+sin x) + c = 2 \; ⇒ \; c = 2 $

La nostra funzione ha derivata prima pari a 

$ \hat f'(x) = -cos x(1+sin x) + 2 $

Per ottenere la funzione f(x) è sufficiente integrare la sua derivata prima e scegliere quella che soddisfa la condizione.

$ f(x) = \int -cos x(1+sin x) + 2 \, dx = 2x -sinx + \frac{1}{2} cos^2 x + c = $

Imponiamo la condizione.

$ f(\frac{\pi}{2}) = 0 \; ⇒ \; \pi - 1 + c = 0 \; ⇒ \; c = 1 - \pi $

La nostra funzione è così

$ \hat f(x) = 2x -sinx + \frac{1}{2} cos^2 x +1 - \pi $

esprimiamo il risultato in termini di solo seno.

$ \hat f(x) = 2x -sinx + \frac{1}{2} (1-sin^2 x) +1 - \pi =$

$ = 2x -sinx  - \frac{1}{2} sin^2 x +\frac{3}{2} - \pi $