Es. Riassuntivi INTEGRALI.

$ f{(2)}(x) = cos(2x) $

Per conoscere la derivata prima è sufficiente integrare e, di seguito, imporre la condizione.

$ f'(x) = \int cos(2x) \, dx = sin x \cdot cos x + c = \frac{1}{2}sin(2x) + c$

Imponiamo la condizione tangente orizzontale per x = π/4, cioè la derivata prima è, in quel punto, nulla. 

$ f'(\frac{\pi}{4}) = 0 \; ⇒ \; \frac{1}{2} sin({\frac{\pi}{2})} + c = 0 \; ⇒ \; c = -\frac{1}{2} $

La derivata prima di f(x) è

$ f'(x) = \frac{1}{2} [sin({\frac{\pi}{2}}) - 1] $

Per conoscere la funzione è sufficiente integrare la derivata prima e, di seguito, imporre l'ultima condizione.

$ f(x) = \frac{1}{2}[\int sin(2x) - 1]\, dx = \frac{1}{2}[-x-\frac{1}{2}cos(2x)]+c $

Imponiamo l'ultima condizione, cioè f(x) passa per l'origine 

$ f(0) = 0 \; ⇒ \;  \frac{1}{2}[0-\frac{1}{2}] + c = 0 \; ⇒ \; c = \frac{1}{4} $

La funzione f(x) è quindi

$ f(x) - \frac{1}{4}cos(2x) - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} $