Es. Riassuntivi INTEGRALI.

Con una sostituzione vediamo di eliminare la radice.

$ t = \sqrt{x+1} \; ⇒ \; dt = \frac{1}{2\sqrt(x+1)} dx \; ⇒ \; 2t\, dt = dx $

$ \int ln(1+\sqrt{x+1}) \, dx = 2\int t\cdot ln(1+t) \, dt = \; ⊳ $

Per parti, il fattore finito sarà il log, così verrà eliminato dall'integrazione

• fattore finito $f(x) = ln (1+t)  \; ⇒\; f'(x) = \frac{1}{1+t}$
• fattore differ. $g'(x) = t \; ⇒ \; g(x) = \frac {t^2}{2} $

$ ⊳ \; = t^2 \cdot ln(1+t) - \int \frac{t^2}{t+1} \, dt = t^2 \cdot ln(1+t) - \int \frac{t^2-1+1}{t+1} \, dt = t^2 \cdot ln(1+t) - \int t-1 \, dt - \int \frac{1}{t+1} \, dt = t^2 ln(1+t) - \frac{t^2}{2} + t - ln|t+1| + c =(x+1)ln(1+\sqrt{x+1}) - \frac{x+1}{2} + \sqrt{x+1} - ln(1+\sqrt{x+1}) + c = $

$ = x ln(1+\sqrt{x+1}) - \frac{x}{2} + \sqrt{x+1} + c $

note:

1. la costante 1/2 è stata inclusa in c.

2. abbiamo sommato e sottratto 1 in modo da semplificare il t²-1 con il t+1.