Es. Riassuntivi INTEGRALI.

$ \int \frac{1}{e^x -2 e^{-x} +1} \, dx = \int \frac{e^x}{e^{2x} + e^x -2} \, dx = $ 

per sostituzione. $ t = e^x \; ⇒ \; dt = e^x dx \; ⇒ \; \frac {dt}{t} = dx $

$ = \int \frac {t}{t^2+t-2} \frac{1}{t} dt = \int \frac {1}{(t+2)(t-1)} dt = \; ⊳ $

Procediamo con la decomposizione 

$ \frac{1}{(t+2)(t-1)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+2} $

$ 1 =  At+2A + Bt-B $ dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+B &= 0 \\ 2A-B &= 1 \end{aligned} \right. $ 
la soluzione è

• $A = \frac{1}{3}$
• $B = -\frac{1}{3}$

$ ⊳ \; = \frac{1}{3} \int \frac{1}{t-1} dt - \frac{1}{3} \int \frac{1}{t+2} dt = \frac{1}{3}[ln|t-1| - ln|t+2|] + c = \frac{1}{3}[ln \frac {|t-1|}{|t+2|}] + c =$

$ = \frac{1}{3}[ln \frac {|e^x-1|}{|e^x+2|}] + c $