Spiega il ragionamento.
Spiega il ragionamento.
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Livello 2
Problema:
(i) Si calcoli $\int \frac{x^{n-1}}{1+x^{2n}}dx$ con $n \in \mathbb{N}-${0}.
(ii) Come cambierebbe la risposta se l'integrale da calcolare fosse $\int \frac{x^{2n-1}}{1+x^{2n}}dx$?
Soluzione:
Per il primo punto, procedendo per sostituzione $u=x^n \rightarrow du=nx^{n-1}dx$ si ottiene:
$\int \frac{x^{n-1}}{1+x^{2n}}dx=\int \frac{du}{n(1+u²)}=\frac{\arctan u^n}{n}+c=\frac{\arctan x^{n}}{n}+c$, ove $c \in \mathbb{R}$.
Per il secondo punto, procedendo sempre per sostituzione $u=x^{2n} \rightarrow 2nx^{2n-1}dx=du$ si ottiene:
$\int \frac{x^{2n-1}}{1+x^{2n}}dx=\int \frac{du}{2n(1+u)}=\frac{\ln|1+u|}{2n}+c=\frac{\ln|1+x^{2n}|}{2n}+c$, ove $c \in \mathbb{R}$.
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Livello 5