Es. Riassuntivi INTEGRALI.

$ f(x) = \frac{x^5}{(x^2-1)^2} $ è una funzione razionale fratta con grado del numeratore maggiore del grado del denominatore. Procediamo con la divisione e in seguito con la decomposizione.

• Divisione.

$ f(x) = \frac{x^5}{(x^2-1)^2} = x + \frac{2x^3-x}{(x-1)^2(x+1)^2} $

• Decomposizione.

$ \frac{2x^3-x}{(x-1)^2(x+1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{(x+1)^2}$

$ 2x^3-x = Ax^3+Ax^2-Ax-A +Bx^2+2Bx+B + Cx^3-Cx^2-Cx+C +Dx^2 -2Dx+D $

dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+C &= 2 \\ A+B-C+D &= 0\\-A+2B-C-2D&=-1\\-A+B+C+D &= 0 \end{aligned} \right. $ 
la soluzione è

• $A = 1$
• $B = \frac{1}{4}$
• $C = 1$
• $D = -\frac{1}{4}$

per cui

$ \frac{2x^3-x}{(x-1)^2(x+1)^2} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{4(x-1)^2} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{4(x+1)^2}$

passando all'integrazione

$ \int \frac{x^5}{(x^2-1)^2} \, dx = \int x \, dx + \int\frac{1}{x-1}\, dx + \int\frac{1}{4(x-1)^2} \, dx+ \int\frac{1}{x+1} \, dx - \int\frac{1}{4(x+1)^2}\, dx $

$ \int \frac{x^5}{(x^2-1)^2} \, dx = \frac{x^2}{2} + ln|x-1| + \frac{1}{4(x-1)}+ ln|x+1| - \frac{1}{4(x+1)} + c $

$ \int \frac{x^5}{(x^2-1)^2} \, dx = \frac{x^2}{2} + ln|x^2-1| - \frac{1}{2(x^2-1)} + c $