Es. Riassuntivi INTEGRALI.

Il prodotto suggerisce di risolverlo per parti.

• fattore finito $f(x) = e^{2x} \; ⇒\; f'(x) = 2e^{2x}$
• fattore differ. $g'(x) = sin x \; ⇒ \; g(x) = - cos x $

per cui

$ \int e^{2x}sin x \, dx = -cos x \, e^{2x} + 2\int e^{2x}cos x \, dx = $

ancora per parti

• fattore finito $f(x) = 2e^{2x} \; ⇒\; f'(x) = 4e^{2x}$
• fattore differ. $g'(x) = cos x \; ⇒ \; g(x) = sin x $

per cui

$ = - cos x \, e^{2x} + 2 sin x\, e^{2x} - 4 \int e^{2x}sin x \, dx $

Siamo giunti a questo punto

$ \int e^{2x}sin x \, dx = - cos x \, e^{2x} + 2 sin x\, e^{2x} - 4 \int e^{2x}sin x \, dx $

con un semplice passaggio algebrico

$ 5\int e^{2x}sin x \, dx = - cos x \, e^{2x} + 2 sin x\, e^{2x}$  +c  

$ \int e^{2x}sin x \, dx = - \frac{1}{5} cos x \, e^{2x} + \frac{2}{5} 2 sin x\, e^{2x} +c $

$ \int e^{2x}sin x \, dx = \frac{1}{5} e^{2x}(2sin x - cosx) + c $