Es. Riassuntivi INTEGRALI.

Il denominatore ha discriminante negativo, ciò implica che non possiamo ulteriormente scomporlo.

Non ci resta che trovare dapprima la soluzione espressa dal logaritmo per poi concludere con la soluzione espressa dall'arcotangente.

Osserviamo che la derivata del denominatore è eguale a 2x+2, non ci resta che ridurre il numeratore a tale valore.

$ \int \frac{x-2}{x^2+2x+3} \, dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x-4}{x^2+2x+3} \, dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x+2-6}{x^2+2x+3} \, dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x+2}{x^2+2x+3} \, dx + \frac{1}{2}\int \frac{-6}{x^2+2x+3} \, dx  =$

$ = \frac{1}{2}ln|x^2+2x+3| - 3 \int \frac{1}{x^2+2x+3} \, dx  = $

Dobbiamo ridurre il denominatore nella forma x² +1

$ = \frac{1}{2}ln|x^2+2x+3| - 3 \int \frac{1}{x^2+2x+1+2} \, dx  =$

$ = \frac{1}{2}ln|x^2+2x+3| - 3 \int \frac{1}{(x+1)^2 +2} \, dx  =$

$ = \frac{1}{2}ln|x^2+2x+3| - \frac{3}{2} \int \frac{1}{(\frac{x+1}{\sqrt{2}})^2 +1} \, dx  =$

per sostituzione. $ t = \frac{x+1}{\sqrt{2}} \; ⇒ \;  \sqrt{2} dt = dx $

$ = \frac{1}{2}ln|x^2+2x+3| - \frac{3}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{t^2 +1} \, dt  =$

$ = \frac{1}{2}ln|x^2+2x+3| - \frac{3}{\sqrt{2}} arctan t + c  =$

$ = \frac{1}{2}ln|x^2+2x+3| - \frac{3}{\sqrt{2}} arctan \left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)  + c $