Es. Riassuntivi INTEGRALI.

$ \int \frac{2x+1}{x^2-4x} dx = \int \frac{2x+1}{x(x-4)} dx = \; ⊳ $

Integrale di una funzione razionale già pronta per la decomposizione (il grado del polinomio a numeratore è minore del grado del polinomio a denominatore).

Procediamo con la decomposizione 

$ \frac{2x+1}{x(x-4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-4} $

$ 2x+1 = Ax-4A + Bx $ dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+B &= 2 \\ -4A &= 1 \end{aligned} \right. $ 
la soluzione è

• $A = -\frac{1}{4}$
• $B = \frac{9}{4}$

per cui

$ ⊳ \; = \frac{9}{4} \int \frac{1}{x-4} \, dx -\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} \, dx = $

$ = \frac{9}{4} ln|x+4| - \frac{1}{4} ln|x| + c $

Qui eseguiamo una decomposizione in fratti semplici e poi applichiamo la proprietà della somma

(2x + 1)/(x(x - 4)) = M/x + N/(x - 4)

M(x - 4) + Nx = 2x + 1 per ogni x

(M + N) x - 4 M = 2x + 1

M + N = 2

- 4 M = 1

da cui M = -1/4

e N = 2 - M = 2 + 1/4 = 9/4

Allora troviamo

S 9/4 * 1/(x-4) dx - S 1/4 * 1/x dx =  9/4 ln |x - 4| - 1/4 ln |x| + C