Es. Riassuntivi INTEGRALI.

ʃ [x * arctan(x)] dx;    ( integriamo per parti):

f'(x) = x;  g(x) = arctan(x); ricorda che la derivata di arctan(x)è uguale a  1/(1 + x^2);

= (x^2 / 2) * arctan(x) - ʃ [x^2 / 2 * 1 / (1 + x^2)] dx =

= (x^2 / 2)* arctan(x) - 1/2 ʃ (x^2 + 1 - 1) /(1 + x^2] dx =

= (x^2 / 2)* arctan(x) - 1/2 { ʃ (x^2 + 1) / (1 + x^2) dx - ʃ 1/(1 + x^2) dx } =

= (x^2 / 2) * arctan(x) - 1/2 { ʃ (1 * dx - ʃ 1/(1 + x^2) dx } =

= (x^2 / 2) * arctan(x) - 1/2 x  + 1/2  arctan(x) + C;

ʃ [x * arctan(x)] dx = 1/2 * (x^2 + 1) * arctan(x)  - 1/2 x  + C .

Ciao @alby

Il prodotto suggerisce di risolverlo per parti.

• fattore finito $f(x) = arctan x \; ⇒\; f'(x) = \frac{1}{x^2+1} $
• fattore differ. $g'(x) = x \; ⇒ \; g(x) = \frac{x^2}{2} $

$ \int x\cdot arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} arctan x - \int \frac{x^2}{2(x^2+1)} \, dx = \frac{x^2}{2} arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2+1 -1}{x^2+1} \, dx = \frac{x^2}{2} arctan x - \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} \, dx =$

$ = \frac{x^2+1}{2} arctan x - \frac{x}{2}  + c $