Es. Riassuntivi INTEGRALI.

(x^3 + 1)/(x^2 + 1)=

=- x/(x^2 + 1) + 1/(x^2 + 1) + x

quindi:

∫((x^3 + 1)/(x^2 + 1))dx=

=ATAN(x) - LN(x^2 + 1)/2 + x^2/2+C

Il numeratore ha grado maggiore del denominatore, quindi procediamo con la divisione per proseguire se necessario con la decomposizione.

$ \frac{x^3+1}{x^2+1} = x + \frac{-x+1}{x^2+1} $

per cui

$ \int \frac{x^3+1}{x^2+1} \, dx = \int x \, dx + \int \frac{-x+1}{x^2+1} \, dx = \frac{x^2}{2} + \int \frac{-x+1}{x^2+1} \, dx = \; ⊳ $ 

Risolviamo a parte l'integrale. Osserviamo che al numeratore compare la x quindi lo modifichiamo in modo che, salvo costanti, sia la derivata del denominatore, avremo così un integrale immediato

$ \int \frac{-x}{x^2+1} \, dx + \int \frac{1}{x^2+1} \, dx = -\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1} \, dx + \int \frac{1}{x^2+1} \, dx = -\frac{1}{2} ln(x^2+1) + arctan x + c $

l'ultimo integrale è un integrale elementare. Ricomponendo il tutto

$ ⊳ \; = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} ln(x^2+1) + arctan x + c $