Spiega il ragionamento.
Spiega il ragionamento.
(x^3 + 1)/(x^2 + 1)=
=- x/(x^2 + 1) + 1/(x^2 + 1) + x
quindi:
∫((x^3 + 1)/(x^2 + 1))dx=
=ATAN(x) - LN(x^2 + 1)/2 + x^2/2+C
Il numeratore ha grado maggiore del denominatore, quindi procediamo con la divisione per proseguire se necessario con la decomposizione.
$ \frac{x^3+1}{x^2+1} = x + \frac{-x+1}{x^2+1} $
per cui
$ \int \frac{x^3+1}{x^2+1} \, dx = \int x \, dx + \int \frac{-x+1}{x^2+1} \, dx = \frac{x^2}{2} + \int \frac{-x+1}{x^2+1} \, dx = \; ⊳ $
Risolviamo a parte l'integrale. Osserviamo che al numeratore compare la x quindi lo modifichiamo in modo che, salvo costanti, sia la derivata del denominatore, avremo così un integrale immediato
$ \int \frac{-x}{x^2+1} \, dx + \frac{1}{x^2+1} \, dx = -\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1} \, dx + \frac{1}{x^2+1} \, dx = -\frac{1}{2} ln(x^2+1} + arctan x + c $
l'ultimo integrale è un integrale elementare. Ricomponendo il tutto
$ ⊳ \; = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} ln(x^2+1} + arctan x + c $