Es. Riassuntivi INTEGRALI.

∫(x^2/(x^2 - 4·x + 5)dx=

=x + 4·∫(x/(x^2 - 4·x + 5))dx - 5·∫(1/(x^2 - 4·x + 5))dx=

=x + 4·(LN(x^2 - 4·x + 5)/2 + 2·∫(1/(x^2 - 4·x + 5))dx - 5·∫(1/(x^2 - 4·x + 5))dx=

=x + 4·(LN(x^2 - 4·x + 5)/2 + 2·ATAN((2·x - 4)/2)) - 5·∫(1/(x^2 - 4·x + 5))dx=

=x + 8·ATAN(x - 2) + 2·LN(x^2 - 4·x + 5) - 5·ATAN((2·x - 4)/2) =

=3·ATAN(x - 2) + 2·LN(x^2 - 4·x + 5) + x + C

Il discriminante del denominatore è negativo. Non è possibile scomporlo ulteriormente nei reali.

Procediamo con la divisione

$ \frac {x^2}{x^2-4x+5} = 1 + \frac{4x-5}{x^2-4x+5} $

per cui il nostro integrale diventa

$ \int \frac {x^2}{x^2-4x+5} \, dx = \int 1 \, dx + \int \frac{4x-5}{x^2-4x+5}  \; dx ⊳ $

Risolviamo a parte l'ultimo integrale. Osserviamo la presenza a numeratore della variabile x vediamo di rendere tale numeratore eguale alla derivata del denominatore.

$ \int \frac{4x-5}{x^2-4x+5}  \; dx = \int \frac{4x-4-1}{x^2-4x+5}  \; dx = \int \frac{4x-8}{x^2-4x+5}  \; dx - \int \frac{3}{x^2-4x+5}  \; dx =$

$= 2 \int \frac{2x-4}{x^2-4x+5}  \; dx - \int \frac{3}{x^2-4x+5}  \; dx = 2 ln(x^2-4x+5) - 3\int \frac{1}{x^2-4x+5}  $

Risolviamo a parte l'ultimissimo integrale. Ci aspettiamo un'arcotangente quindi il denominatore deve essere nella forma x²+1. Completiamo il quadrato a denominatore 

$ -3 \int \frac{1}{x^2-4x+5} \, dx = -3 \int \frac{1}{x^2-4x+4 +1} \, dx = -3 \int \frac{1}{(x-2)^2 +1} \, dx = -3 arctan(x-2) $

Ricomponendo il tutto

$  \int \frac {x^2}{x^2-4x+5} \, dx = x + 2 ln(x^2-4x+5) - 3 arctan(x-2) +c $

el la peppa, c'è un meno di differenza. Per fortuna Wolfram mi da ragione.

https://www.wolframalpha.com/input?i=int+x%5E2+%2F+%28x%5E2-4x%2B5%29+dx