es. nr. 12

Sino alla determinazione dell'ellisse e della parabola.

Determinazione ellisse

x^2/α + y^2/β = 1

con α = a^2 ; β = b^2

passa per [- √5, - 2/3]

(- √5)^2/α + (- 2/3)^2/β = 1

5/α + 4/(9·β) = 1---> β = 4·α/(9·(α - 5))

x^2/α + y^2/(4·α/(9·(α - 5))) = 1

x^2/α + 9·y^2·(α - 5)/(4·α) = 1

Dalla definizione di ellisse:

[- 2·√2, 0]

[2·√2, 0]

[- √5, - 2/3]

2·a = √((- √5 + 2·√2)^2 + (- 2/3 - 0)^2) + √((- √5 - 2·√2)^2 + (- 2/3 - 0)^2)

2·a = √((13 - 4·√10) + 4/9) + √((4·√10 + 13) + 4/9)

2·a = (3 - 2·√10/3) + (2·√10/3 + 3)

2·a = 6---> a = 3

α = 3^2=9

x^2/9 + 9·y^2·(9 - 5)/(4·9) = 1

x^2/9 + y^2 = 1

Determinazione parabola

y = a·x^2 + b·x + c

{0 = a·3^2 + b·3 + c  passa da [3, 0]

{- b/(2·a) = 3  asse parabola

{1 = a·0^2 + b·0 + c   passa da [0, 1]

quindi risolvo:

{9·a + 3·b + c = 0

{b/a = -6

{c = 1

ed ottengo:  [a = 1/9 ∧ b = - 2/3 ∧ c = 1]

quindi la funzione: y = x^2/9 - 2·x/3 + 1