[Risolto] Es n96

a. 

a.1 Visto che f(x) → -∞ per x → - 1, significa che l'argomento del logaritmo tende a 0 cioè

|x+b| → 0 per x → - 1 ne consegue che b = 1.

a.2 dalla $ alog_2 |x+1| + c = -1 \, \text {per} \, x=0 \,$   segue che  0 + c = -1 quindi c = -1.

a.3 passa per A(-3, 1) quindi $alog_2 |-3+1| -1 = 1$

$ a log_2 |-2| - 1 = 1$

$ a - 1 = 1 \; ⇒ \; a = 2$

La nostra funzione è $ f(x) = 2log_2 |x+1| - 1$

.

b.  $ f(x) \le 3 $

$ 2log_2 |x+1| - 1 \le 3 $

$ log_2 |x+1| \le 2 $  

$ |x+1| \le 2^2 = 4 $       con x ≠ -1

$ -4 \le x + 1\le 4 $     con x ≠ -1

$ -5 \le x \le 3 $     con x ≠ -1 ,cioè

[-5, -1) U (-1, 3] ovvero -5 ≤ x < -1 ∨ -1 < x ≤ 3

.

c.  La funzione f(x) ristretta al dominio (0, +∞) è una funzione iniettiva e surgettiva, quindi bigettiva ovvero invertibile.

-) l'iniettività può essere dimostrata per assurdo sfruttando la stretta monotonia della funzione logaritmica.

-) La suriettività si dimostra applicando il teorema dei valori intermedi (IVT) al fatto che f(x) diverge a +∞ per x→ +∞ e f(x) diverge a -∞ per x→-1⁺. Ti consiglio di non usare l'accattivante dimostrazione che l'equazione y = f(x) ammette almeno una soluzione. In tale dimostrazione si fa uso della funzione inversa e non è carino dimostrare l'esistenza dell'inversa avendo per ipotesi la sua conoscenza.

Visto che i logaritmi sono funzioni invertibili calcoliamo l'inversa della ristretta, applicando il solito metodo basato sui tre seguenti passi. 

1. Scrivo l'equazione nella forma $ y = 2log_2 (x+1) - 1 $
2. Scambio tra loro le variabili. $ x = 2log(y+1) - 1 $
3. Risolvo in y.

$ x + 1 = 2log_2(y+1)  $

$ \frac {x+1}{2} = log_2 (y + 1)$   

Sfruttiamo l'identità logaritmica $ 2^{log_2 (t)} = t $ 

$ 2^{\frac {x+1}{2}} = 2^{log_2 (y + 1)}$

$ 2^{\frac {x+1}{2}} = y + 1$

$ y = 2^{\frac {x+1}{2}} - 1 $