[Risolto] Es n 31

L'equazione di un fascio di coniche a centro riferite ai propri assi di simmetria
* Γ(k) ≡ x^2/k + y^2/(2*k - 3) = 1 ≡
≡ ((2*k - 3)*x^2 + k*y^2 - 2*k*(k - 3/2))/(2*k*(k - 3/2)) = 0 ≡
≡ ((2*k - 3)*x^2 + k*y^2 = 2*k*(k - 3/2)) & (k ∉ {0, 3/2})
per k ∈ {0, 3/2} dà gli assi (x, y) che, uno per volta, non sono coniche a centro.
Esclusi {0, 3/2}, i tipi di conica si distinguono dai segni delle espressioni parametriche e dalla relazione d'ordine fra di esse.
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Casi
0) (k < 0) & (2*k - 3 < 0) ≡ k < 0 ≡ Γ(k) è un'ellisse immaginaria
1) (k < 0) & (2*k - 3 > 0) ≡ ∄ k ≡ Γ(k) non esiste
2) (k > 0) & (2*k - 3 < 0) ≡ 0 < k < 3/2 ≡ Γ(k) è un'iperbole con fuochi sull'asse x, vertici reali V(± √k, 0), asintoti y = ± (√(|2 - 3/k|))*x
3) (k > 0) & (2*k - 3 > 0) ≡ k > 3/2 ≡ Γ(k) è un'ellisse reale
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Sottocasi
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A) iperbole equilatera o circonferenza reale
* k = 2*k - 3 ≡ k = 3 > 3/2 ≡ Γ(k) è una circonferenza reale; l'iperbole equilatera non si può ottenere.
B) iperbole con fuochi sull'asse y non si può ottenere: sarebbe dovuto essere il caso 1.
C1) ellisse con fuochi sull'asse x: 0 < 2*k - 3 < k ≡ 3/2 < k < 3.
C2) ellisse con fuochi sull'asse y non si può ottenere: 0 < k < 2*k - 3 ≡ k > 3.
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RISPOSTE AI QUESITI
a. un'iperbole: 0 < k < 3/2
b. un'iperbole con i fuochi sull'asse x: 0 < k < 3/2
c. un'iperbole con i fuochi sull'asse y: ∄ k
d. un'iperbole che ha un vertice in V(- 1, 0): - √k = - 1 ≡ k = 1
e. un'iperbole avente come asintoti le rette di equazione y = x/2:
* (√(|2 - 3/k|) = 1/2) & (0 < k < 3/2) ≡ k = 4/3

Riscrivo l'equazione 

x²/k - y²/(3-2k)=1

A) rappresenta un'iperbole

k*(3-2k)>0 => 0<k<3/2

B) iperbole con fuochi su asse x

{k>0

{0<k<3/2

Quindi 0<k<3/2

Rappresenta sempre un'iperbole con fuochi su asse x

C)Non rappresenta mai un'iperbole con fuochi su asse y

D) Vertice nel punto (-1;0)

radice (k) = 1 => k=1

E) Asintoti y=±(1/2)x = ± (b/a)*x

Con:

b= radice (3-2k) ; a= radice (k)

si ricava:

radice [(3-2k)/k] =(1/2)

12-8k=k => k=4/3