In figura sono rappresentati un'iperbole di equazione $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, un suo vertice $V$, un suo fuoco $F$ e le relative proiezioni su di un asintoto. Quanto vale il rapporto tra l'area del triangolo $O F B$ e quella del triangolo OVA?
A È uguale all'eccentricità dell'iperbole
B E E uguale al reciproco dell'eccentricità dell'iperbole
C E uguale al quadrato dell'eccentricità dell'iperbole
D È sempre uguale a $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Il numero 200
8
punti
Livello 0
Il rapporto fra le due aree è pari al quadrato dell'eccentricità dell'iperbole.
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 è l'iperbole di figura
a = ΟV > 0
b/a = m > 0 è il coefficiente angolare dell'asintoto y = b/a·x
c = ΟF > 0
Riscriviamo l'asintoto in termini impliciti:
b/a·x - y = 0----> (b·x - a·y)/a = 0
quindi: b·x - a·y = 0
Calcoliamo le relative distanze dall'asintoto dai punti:
[c, 0] e [a, 0]
ΒF = ABS(b·c - a·0)/√(b^2 + a^2)----> BF=b·c/√(a^2 + b^2)
ΑV = ABS(b·a - a·0)/√(b^2 + a^2)----> AV=a·b/√(a^2 + b^2)
Quindi:
ΟΒ = √(c^2 - (b·c/√(a^2 + b^2))^2) = a·c/√(a^2 + b^2)
ΟΑ = √(a^2 - (a·b/√(a^2 + b^2))^2) = a^2/√(a^2 + b^2)
Α (OBF)= 1/2·(b·c)/√(a^2 + b^2)·(a·c/√(a^2 + b^2)) = a·b·c^2/(2·(a^2 + b^2))
A(OAV)=1/2·a·b/√(a^2 + b^2)·(a^2/√(a^2 + b^2)) = a^3·b/(2·(a^2 + b^2))
Rapporto:
a·b·c^2/(2·(a^2 + b^2))/(a^3·b/(2·(a^2 + b^2))) = c^2/a^2
Quadrato dell'eccentricità dell'iperbole
100305
punti
Genius II
OVA ed OFB sono simili per costruzione, quindi il rapporto k^2 fra le loro aree è il quadrato di quello k fra le loro ipotenuse
* k = |OF|/|OV| = c/a = √(a^2 + b^2)/a = √(1 + (b/a)^2)
* k^2 = S(OFB)/S(OVA) = 1 + (b/a)^2
L'eccentricità e è il rapporto tra la semidistanza focale c e la lunghezza del semiasse trasverso dell'iperbole —in questo caso a— quindi
* e = c/a = k
Opzione C.
57436
punti
Genius I
