Nel fascio di rette generato dalle rette $r: x+y+1=0$ e $s: x+2 y=0$, determina:
a. la retta passante per $P(1,1)$;
b. le rette che formano con gli assi cartesiani un triangolo di area $\frac{9}{2}$;
c. la retta parallela alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante.
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Livello 0
* r ≡ x + y + 1 = 0
* s ≡ x + 2*y = 0
* r & s ≡ (x + y + 1 = 0) & (x + 2*y = 0) ≡ C(- 2, 1)
* f(a, b) ≡ a*(x + y + 1) + b*(x + 2*y) = 0 ≡
≡ (a + b)*x + (a + 2*b)*y + a = 0 ≡
≡ (y = - ((a + b)*x + a)/(a + 2*b)) & (a != - 2*b)
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Il fascio proprio f(a, b) ha:
* centro C(- 2, 1);
* pendenza m = - (a + b)/(a + 2*b);
* intercetta q = - a/(a + 2*b);
* zero X = - a/(a + b)
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) P(1, 1) è allineato con C sulla y = 1, che è la retta richiesta.
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b) L'area S del triangolo è il semiprodotto delle intercette
* S = X*q/2 = (- a/(a + b))*(- a/(a + 2*b))/2 = a^2/(2*(a + b)*(a + 2*b))
* S = 9/2 ≡ a^2/(2*(a + b)*(a + 2*b)) = 9/2 ≡
≡ (b = ((- 9 - √17)/12)*a) oppure (b = ((- 9 + √17)/12)*a)
da cui le rette
* (a + ((- 9 - √17)/12)*a)*x + (a + 2*((- 9 - √17)/12)*a)*y + a = 0 ≡ y = ((3 - √17)*x + 12)/(2*(3 + √17))
oppure
* (a + ((- 9 + √17)/12)*a)*x + (a + 2*((- 9 + √17)/12)*a)*y + a = 0 ≡ y = ((3 + √17)*x + 12)/(2*(3 - √17))
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c) La retta con
* pendenza m = - (a + b)/(a + 2*b) = - 1 ≡ b = 0
risulta
* (a + 0)*x + (a + 2*0)*y + a = 0 ≡ y = - x - 1
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