Un'ellisse con i fuochi sull'asse $x$ e centro nell'origine passa per $P(0,2)$ e ha eccentricità $\frac{\sqrt{5}}{5}$. Scrivi l'equazione dell'ellisse e
Un'ellisse con i fuochi sull'asse $x$ e centro nell'origine passa per $P(0,2)$ e ha eccentricità $\frac{\sqrt{5}}{5}$. Scrivi l'equazione dell'ellisse e
1. ellisse di centro O(0, 0) con fuochi sull'asse y e semi-asse maggiore b = 4 e semi-asse minore a = 3.
La sua equazione è
$\frac {x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$
2. La seconda ellisse differisce dalla precedente per il fatto che il suo centro è O'(3, 4)
La sua equazione è
$\frac {(x-3)^2}{9} + \frac{(y-4)^2}{16} = 1$
3. Area superficie colorata.
Osserviamo che tale area è due volte l'area delimitata dai segmenti O3, O4 e dal tratto curvilineo appartenente alla prima ellisse sottratto l'area del triangolo O3, O4.
3.1 Area triangolo. $S_t = \frac {3 \cdot 4}{2} = 6$
3.2 Area figura O3, O4 tratto curvilineo.
Esprimiamo l'equazione della curva. dalla
$\frac {x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ ricaviamo
$ y = 4 \sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}$
per cui l'area sarà
$ S_c = \displaystyle\int_0^3 4 \sqrt{1 - \frac{x^2}{9}} dx $
$ S_c = \left. 4(\frac{x}{6}\sqrt{9-x^2} + \frac{3}{2} arcsin(\frac{x}{3}) \right|_0^3$
$ S_c = 4( \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) = 3\pi$
La differenza tra le due aree sarà
$ S_t - S_c = 3\pi - 6$
L'intera area colorata sarà il doppio quindi
$ A_c = 6\pi - 12$
Un esercizio per volta. Vedi il