[Risolto] Es ellisse

1. ellisse di centro O(0, 0) con fuochi sull'asse y e semi-asse maggiore b = 4 e semi-asse minore a = 3.

La sua equazione è

$\frac {x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$

2. La seconda ellisse differisce dalla precedente per il fatto che il suo centro è O'(3, 4) 

La sua equazione è

$\frac {(x-3)^2}{9} + \frac{(y-4)^2}{16} = 1$

3. Area superficie colorata.

Osserviamo che tale area è due volte l'area delimitata dai segmenti O3, O4 e dal tratto curvilineo appartenente alla prima ellisse sottratto l'area del triangolo O3, O4.

3.1 Area triangolo. $S_t = \frac {3 \cdot 4}{2} = 6$

3.2 Area figura O3, O4 tratto curvilineo.

Esprimiamo l'equazione della curva. dalla 

$\frac {x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ ricaviamo

$ y = 4 \sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}$

per cui l'area sarà

$ S_c = \displaystyle\int_0^3 4 \sqrt{1 - \frac{x^2}{9}} dx $ 

$ S_c = \left. 4(\frac{x}{6}\sqrt{9-x^2} + \frac{3}{2} arcsin(\frac{x}{3}) \right|_0^3$

$ S_c = 4( \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) = 3\pi$

La differenza tra le due aree sarà

$ S_t - S_c = 3\pi - 6$

L'intera area colorata sarà il doppio quindi 
$ A_c = 6\pi - 12$

Un esercizio per volta. Vedi il 

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