[Risolto] Es di riepilogo

Considerazione (Γ maiuscolo anziché γ minuscolo che può sembrare y minuscolo)
La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 + 2*x - 6*y + 8 = 0 ≡
≡ x^2 + 2*x + y^2 - 6*y + 8 = 0 ≡
≡ (x + 1)^2 - 1^2 + (y - 3)^2 - 3^2 + 8 = 0 ≡
≡ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 2 = 0 ≡
≡ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 2
ha
* centro C(- 1, 3)
* raggio r = √2
Poiché il raggio r è ipotenusa dei cateti semicorda c/2 e distanza d dal centro
* r^2 = d^2 + (c/2)^2
si ha che, in Γ, la corda c = 2*√(6/5) determina
* d^2 = (√2)^2 - (2*√(6/5)/2)^2 = 4/5
* d = 2/√5
Risoluzione
Quindi per rispondere ai tre quesiti si devono trovare le tangenti tirate da P(- 1, 1), allineato con C(- 1, 3) sulla x = - 1, alle tre circonferenze concentriche
a) Γ1 ≡ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = (√10/5)^2 ≡ x^2 + y^2 + 2*x - 6*y + 48/5 = 0
b) Γ0 ≡ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = (√2)^2 ≡ x^2 + y^2 + 2*x - 6*y + 40/5 = 0
c) Γ2 ≡ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = (2/√5)^2 ≡ x^2 + y^2 + 2*x - 6*y + 46/5 = 0
cioè si devono calcolare, rispetto alle Γ, le rette polari p del polo P(- 1, 1) che saranno ortogonali alla x = - 1
a) p1 ≡ x*(- 1) + y*1 + (x - 1) - 3*(y + 1) + 48/5 = 0 ≡ y = 14/5
b) p0 ≡ x*(- 1) + y*1 + (x - 1) - 3*(y + 1) + 40/5 = 0 ≡ y = 2
c) p2 ≡ x*(- 1) + y*1 + (x - 1) - 3*(y + 1) + 46/5 = 0 ≡ y = 13/5
intersecarle con le rispettive Γ per avere i punti di tangenza
a) p1 ≡ (y = 14/5) & ((x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 2/5) ≡ (- 8/5, 14/5) oppure (- 2/5, 14/5)
b) p0 ≡ (y = 2) & ((x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 2) ≡ (- 2, 2) oppure (0, 2)
c) p2 ≡ (y = 13/5) & ((x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 4/5) ≡ (- 9/5, 13/5) oppure (- 1/5, 13/5)
e infine calcolare le rette richieste come congiungenti P con ciascuno dei sei punti di tangenza ottenuti.
Quest'ultima incombenza te la lascio come utile esercizio.

Foto dritta innanzitutto! Poi sembrerebbe che il problema sia già stato risolto:

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/esercizi-sulla-circonferenza-3/?orderby=newest

scrivi il fascio proprio di centro P

y-1=m(x+1) e scrivilo in forma implicita mx-y+(m+1)=0 

a) trovi il centro e usa la distanza punto retta tra il centro e l'equazione del fascio appena calcolata... imponi la distanza a quel valore. 

b)per le tangenti devi imporre il valore della distanza Centro-fascio uguale al raggio della circonferenza

c) sistema tra fascio e circonferenza, trovi i due punti di intersezione che avranno coordinate in funzione di m e imponi la distanza tra questi punti di contatti uguale al valore scritto nel testo.