ES 988

a.  funzione g(x).

La retta che la rappresenta passa per due punti P(-1,0) e Q(0,1). Si tratta di usare la corrispondente formula. Noi useremo la formula dell'equazione segmentaria della retta.

$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$

nel nostro caso    

$\frac{x}{-1} + \frac{y}{1} = 1 \; ⇒\; -x + y = 1$

in sostituzione del simbolo y(x) usiamo g(x)

g(x) = x + 1

.

b. 

Determiniamo il valore della costante a imponendo il passaggio della funzione per il punto P(-1,0)

$ ln(-1+a) = 0 \; ⇒\; -1 + a = e^0 \; ⇒\; -1 + a = 1 \; ⇒\; a = 2$ 

l'espressione della funzione f(x) è così

$f(x) = ln(x+2)$

.

c. 

$ \displaystyle\lim_{x \to -2^+} \frac{f(x)}{g(x)} = + \infty $

Il numeratore tende a -∞ mentre il denominatore tende a -1

$ \displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{g(x)} = $

forma indeterminata del tipo 0/0

Possiamo usare de l'Hôpital, molti prof però non lo gradiscono. Percorreremo un'altra via

Cambio di variabile. Poniamo y = x+1

Se x → -1 allora y → 0

Il limite diventa

$ \displaystyle\lim_{y \to 0} \frac{ln(1+y)}{y} = 1 $ 

quest'ultimo è un limite notevole.