[Risolto] Es 704- disequazioni goniometriche

Come dice Poirot in una delle più ossessive pubblicità in TV «C'è sempre un movente!» così io penso che ci sia un buon motivo se in più di ventuno ore non hai avuto nemmeno una risposta: è che hai scritto una domanda folle!
«Il mio dubbio più grande è sul denominatore della seconda disequazione.»
Beh, e quale sarebbe questo dubbio sul quale chiedi aiuto? T'è rimasto nella tastiera.
«Per il resto penso sia corretto ma non so.»
Beh, e quale sarebbe questo resto? T'è rimasto nella tastiera anch'esso.
«... penso sia corretto ma non so.»
E a chi gli scuce un baffo, non ce lo metti? Se non lo sai tu!
«Mi potete aiutare?» e «Se potete aiutatemi per favore.»
OVVIAMENTE NO: chi mai potrebbe dare un aiuto che hai dimenticato di chiedere e/o un giudizio sulla correttezza di qualcosa che hai dimenticato di mostrare?
Nessuno! E, infatti, nessuno t'ha risposto.
Tutto ciò che ti si può offrire è lo svolgimento dell'esercizio 704, ma è una banalità. Nelle prossime domande devi stare attenta a chiarire ciò che chiedi e a come lo chiedi: le parole sono importanti!
http://ilbolive.unipd.it/it/news/parole-sono-importanti
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Nei calcoli che seguono considero solo il primo giro (0 <= x < 2*π).
Il sistema di disequazioni 704 è definito per x != π/4, che annullerebbe l'unico denominatore; perciò la prima equivalenza dello svolgimento deve aggiungere tale esclusione alla semplificazione delle espressioni
704) (sin(x)*(cos^2(x) + 2*cos(x)) >= 0) & ((cos(x) + 1)/(tg(x) - 1) <= 0) ≡
≡ ((cos(x) + 2)*sin(2*x) >= 0) & ((cos(x) + 1)*(tg(x) - 1) <= 0) & (x != π/4)
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Per costruire la seconda equivalenza è utile trattare separatamente le due disequazioni e i loro fattori avendo presente come varia il segno di un prodotto fra due soli fattori:
* A*B < 0 ≡ (A < 0) & (B > 0) oppure (A > 0) & (B < 0)
* A*B = 0 ≡ (A = 0) oppure (B = 0)
* A*B > 0 ≡ (A < 0) & (B < 0) oppure (A > 0) & (B > 0)
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* cos(x) + 2: positivo ovunque, non influisce sul segno.
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* sin(2*x): < 0 per (π/2 < x < π) oppure (3*π/2 < x < 2*π); = 0 per x in {0, π/2, π, 3*π/2}; > 0 per (0 < x < π/4) oppure (π/4 < x < π/2) oppure (π < x < 3*π/2).
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* cos(x) + 1: ovunque non negativo; zero per x = π; positivo per (0 <= x < π/4) oppure (π/4 < x < π) oppure (π < x < 2*π).
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* tg(x) - 1: < 0 per (0 <= x < π/4) oppure (π/2 < x < 5*π/4) oppure (3*π/2 < x < 2*π); = 0 per x = 5*π/4; > 0 per (π/4 < x < π/2) oppure (5*π/4 < x < 3*π/2).
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Dell'esclusione "& (x != π/4)" s'è già dato conto nelle quattro analisi precedenti.
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* ((cos(x) + 2)*sin(2*x) >= 0) ≡ (non influisce, via!)
≡ sin(2*x) >= 0 ≡
≡ (sin(2*x) = 0) oppure (sin(2*x) > 0) ≡
≡ (x in {0, π/2, π, 3*π/2}) oppure (0 < x < π/4) oppure (π/4 < x < π/2) oppure (π < x < 3*π/2) ≡
≡ (0 <= x < π/4) oppure (π/4 < x <= π/2) oppure (π <= x <= 3*π/2)
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* ((cos(x) + 1)*(tg(x) - 1) <= 0) ≡
≡ ((cos(x) + 1)*(tg(x) - 1) = 0) oppure ((cos(x) + 1)*(tg(x) - 1) < 0) ≡
≡ (x in {π, 5*π/4}) oppure (cos(x) + 1 < 0) & (tg(x) - 1 > 0) oppure (cos(x) + 1 > 0) & (tg(x) - 1 < 0) ≡
≡ (x in {π, 5*π/4}) oppure (insieme vuoto) oppure (0 <= x < π/4) oppure (π/2 < x < π) oppure (π < x < 5*π/4) oppure (3*π/2 < x < 2*π) ≡
≡ (0 <= x < π/4) oppure (π/2 < x <= π) oppure (π <= x <= 5*π/4) oppure (3*π/2 < x < 2*π) ≡
≡ (0 <= x < π/4) oppure (π/2 < x <= 5*π/4) oppure (3*π/2 < x < 2*π)
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Con queste premesse si costruisce la seconda equivalenza, che poi dà luogo a un'orgia di nove congiunzioni a due, frutto della proprietà distributiva della congiunzione ("&") rispetto alla disgiunzione ("oppure")
* ((cos(x) + 2)*sin(2*x) >= 0) & ((cos(x) + 1)*(tg(x) - 1) <= 0) & (x != π/4) ≡
≡ ((0 <= x < π/4) oppure (π/4 < x <= π/2) oppure (π <= x <= 3*π/2)) & ((0 <= x < π/4) oppure (π/2 < x <= 5*π/4) oppure (3*π/2 < x < 2*π)) ≡
≡ (p + q + r) * (u + v + w) ≡
≡ p*u + p*v + p*w + q*u + q*v + q*w + r*u + r*v + r*w ≡
≡ (0 <= x < π/4) & (0 <= x < π/4) oppure (0 <= x < π/4) & (π/2 < x <= 5*π/4) oppure (0 <= x < π/4) & (3*π/2 < x < 2*π) oppure (π/4 < x <= π/2) & (0 <= x < π/4) oppure (π/4 < x <= π/2) & (π/2 < x <= 5*π/4) oppure (π/4 < x <= π/2) & (3*π/2 < x < 2*π) oppure (π <= x <= 3*π/2) & (0 <= x < π/4) oppure (π/2 < x <= 5*π/4) oppure (π <= x <= 3*π/2) & (3*π/2 < x < 2*π) ≡
≡ (0 <= x < π/4) oppure (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) oppure (π <= x <= 5*π/4) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ (0 <= x < π/4) (π <= x <= 5*π/4)
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CONTROPROVA nel paragrafo "Results" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=solve%28sin%28x%29*%28cos%5E2%28x%29--2*cos%28x%29%29%3E%3D0%29%26%28%28cos%28x%29--1%29%2F%28tg%28x%29-1%29%3C%3D0%29%26%280%3C%3Dx%3C2*%CF%80%29for+x+real
che, a parte un minimo errore sfuggitomi chissà dove (cercalo tu!), conferma la sostanziale correttezza della procedura illustrata.
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CONCLUSIONE
Il sistema originale è la congiunzione di due disequazioni complesse con due diseguaglianze d'ordine lasco rispetto a zero.
Il primo passaggio è consistito nel semplificare le disequazioni date e nell'aggiungere come terzo e quarto congiunti due restrizioni: una per giustificare una semplificazione e l'altra per escludere le periodicità limitando al primo giro gli archi in esame.
Il secondo passaggio è consistito nel ridurre ciascuna delle disequazioni semplificate, nel rispetto delle restrizioni, all'unione di tre intervalli.
Il terzo passaggio ha sviluppato l'intersezione delle due unioni nell'unione di nove intersezioni di due soli intervalli ciascuna.
Infine il calcolo delle nove intersezioni elementari ha prodotto il risultato (errore compreso!).