ES 59Matematica

a. Grafico  

Si tratta di un arco di parabola con asse parallelo all'asse delle x e concavità rivolta a sinistra.

b.  Equazione delle parabole passanti per P(1, -1) e Q(0, -6)

Consideriamo la generica parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate, cioè

y = ax^2+bx+c

Imponiamo il passaggio per i punti P e Q si ottiene il sistema

• a+b+c = -1  passa per P
• c = -6          passa per Q
• la cui soluzione è b = 5-a; c = -6

Le parabole (fascio) con tali proprietà hanno equazione del tipo

y = ax^2 +(5-a)x -6

Cerchiamo tra tutte quelle che soddisfano il vincolo sulla lunghezza della corda.

I punti di intersezione con l'asse delle x (eq. y = 0) si ottengono risolvendo l'equazione

ax^2 +(5-a)x -6 = 0

Le cui soluzioni sono

$ x_1 = \frac{a-5-\sqrt{a^2+14a+25}}{2a} $

$ x_2 = \frac{a-5+\sqrt{a^2+14a+25}}{2a} $

La distanza d tra i due punti è

$ d = 2 \cdot \frac{\sqrt{a^2+14a+25}}{4a^2} $

Imponiamo che sia $d = 2 \sqrt{3}$

ovvero 

$2 \cdot \frac{\sqrt{a^2+14a+25}}{4a^2} = 2 \sqrt{3}$

dopo qualche passaggio

$ 11a^2-14a-25 = 0 $

Le cui due soluzioni sono $a_1 = -1; \; a_2 = \frac{25}{11} $

alle quali corrispondono le due parabole

$ y_1 = -x^2+6x-6 $ questa è quella con vertice nel primo quadrante

$ y_2 = (\frac{25}{11})x^2 +(5- \frac{25}{11})x - 6 $ da scartare poiché ha vertice nel terzo quadrante.

c.  intersezione tra le due curve. si tratta di risolvere il sistema

• y = -x²+6x-6
• y = 3 - √(3-x)

Le cui due soluzioni sono i punti A(2,2) e B(3,3)  

L'asse tra i punti A e B ha equazione y = -x +5 che intercetta gli assi nei punti (5, 0) e (0, 5)

L'area A del triangolo è quindi $ A = \frac{25}{2}$

Mi spiace ma devo correre via, dovresti verificare i conti poiché non avuto tempo di correggere il testo.