ES 566

x/(COS(2·x) - COS(x))

Per x--->0- ed x--->0+

abbiamo due limiti diversi.

LIM(x/(COS(2·x) - COS(x))) = +∞

x-->0-

LIM(x/(COS(2·x) - COS(x))) = -∞

x-->0+

Il limite ha forma indeterminata (0/0) conviene riscriverlo in modo più semplice e poi eventualmente applicare De L'Hopital

x/(COS(x)^2 - SIN(x)^2 - COS(x))=

=x/(COS(x)^2 - (1 - COS(x)^2) - COS(x))=

=x/(2·COS(x)^2 - COS(x) - 1)

Applichiamo quindi De L'Hopital

N'(x)=1

D'(x)=SIN(x) - 4·SIN(x)·COS(x)

La frazione diventa:

1/(SIN(x)·(1 - 4·COS(x)))

per x-->0-

abbiamo la forma 1/0-*(-3)=(1/0+)

quindi il primo risultato in alto. Analogamente per il secondo limite.

Per x-->0 e basta, non esiste il limite

Il limite è indeterminato, o come dicono gli americani il limite non esiste. Alcuni americani vanno oltre e affermano che tutto ciò che non converge diverge. Questo è ciò che penso della risposta indicata.

Dimostriamo che è indeterminato facendo vedere che li limite destro è diverso dal limite sinistro.

In questa prima fase non scrivo, per semplicità, il simbolo del limite.

$ \frac{x}{cos (2x)-cos x} = \frac{x}{cos^2 x - cos x - sin^2 x} =  -\frac{x}{- cos^2 x + cos x + sin^2 x} = -\frac{x}{cosx (1-cos x) + sin^2 x} = $

Passiamo al limite

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} - \frac{x}{cosx (1-cos x) + sin^2 x} = $

 Dividiamo numeratore e denominatore per x²

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} - \frac{\frac{1}{x}}{cosx \frac {(1-cos x)}{x^2} + \frac{sin^2 x}{x^2}} = $

Il limite del denominatore è $ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} $

Il limite del numeratore non esiste visto che

• $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} - \frac{1}{x} = + \infty $
• $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} - \frac{1}{x} = - \infty $

Conclusione il limite è indeterminato.