[Risolto] es 551

Es. 551
Il risultato atteso è incoerente alla consegna in quanto questa si limita a chiedere "condizioni d'esistenza" mentre quello si restringe a "condizioni di realtà".
Le condizioni d'esistenza del logaritmo di a in base b
* log(base, argomento) = log(b, a)
sono
* (a != 0) & (b != 0) & (b != 1)
la restrizione "a > 0" serve solo se si è in una diseguaglianza d'ordine, ma non qui, in un'eguaglianza.
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L'espressione
* (1 + log(2*b, c))/log(b, c) = (log^2(a, b) + log(a, b)*log(a, 2*c))/log(a, c)
è definita se lo è ogni logaritmo e se nessun denominatore è zero, cioè
* (a != 0) & (a != 1) & (b != 0) & (b != 1/2) & (b != 1) & (c != 0) & (c != 1) ≡
≡ (a, b, c non in {0, 1}) & (b != 1/2)
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Riportando tutti i logaritmi alla stessa base si ha
* (1 + log(2*b, c))/log(b, c) = (log^2(a, b) + log(a, b)*log(a, 2*c))/log(a, c) ≡
≡ (ln(b) + ln(c) + ln(2))*ln(b)/((ln(b) + ln(2))*ln(c)) = (ln^2(b)/ln^2(a) + (ln(b)*(ln(c) + ln(2))/ln^2(a)))/(ln(c)/ln(a))
Una volta che l'espressione s'è ridotta ai soli logaritmi elementari in una sola base dimostrare o confutare l'identità è pura manipolazione algebrica, con le restrizioni delle condizioni d'esistenza.
Per snellire la dattilografia (una battuta al posto di cinque) sostituisco
* A = ln(a)
* B = ln(b)
* C = ln(c)
* L = ln(2)
ottenendo
≡ (B + C + L)*B/((B + L)*C) = (B^2/A^2 + (B*(C + L)/A^2))/(C/A) ≡
≡ (B + C + L)*B/((B + L)*C) - (B^2/A^2 + (B*(C + L)/A^2))/(C/A) = 0 ≡
≡ - B*(- A + B + L)*(B + C + L)/(A*C*(B + L)) = 0 ≡
≡ (- A + B + L = 0) oppure (B + C + L = 0) ≡
≡ (A - B = L) oppure (B + C = - L) ≡
≡ (ln(a) - ln(b) = ln(2)) oppure (ln(b) + ln(c) = - ln(2)) ≡
≡ (ln(a/b) = ln(2)) oppure (ln(b*c) = - ln(2)) ≡
≡ (b = a/2) oppure (c = 1/(2*b) = 1/a)
che, contrariamente al risultato atteso, ha più l'aria di una confutazione che d'una dimostrazione.

@lorenzo_licinio_carino

Mi torna il numeratore della frazione ma non il denominatore.

NON È VERIFICATA L'UGUAGLIANZA