Quesito A
La funzione
* y = x^2 - 3*x = x*(x - 3) = (x - 3/2)^2 - 9/4
ha per grafico la parabola di vertice V(3/2, - 9/4) e zeri O(0, 0) e Z(3, 0); il grafico del suo modulo
* y = |x^2 - 3*x| = |x*(x - 3)| = |(x - 3/2)^2 - 9/4|
si ottiene dalla parabola ribaltandone in su l'arco fra gli zeri, della y = 3*x - x^2,
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dx%5E2-3*x%2Cy%3D3*x-x%5E2%5Dx%3D-1to4
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%7Cx%5E2-3*x%7C%5Dx%3D-1to4
quindi gli zeri restano immutati e il vertice si ribalta in W(3/2, 9/4).
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Quesito B
Le radici dell'equazione
* |x^2 - 3*x| = k
che è la risolvente del sistema
* (y = k) & (y = |x^2 - 3*x|)
sono le ascisse delle intersezioni fra il grafico sub A e le generica parallela all'asse x.
Pertanto si ha la seguente distinzione di casi.
* per k < 0 nessuna intersezione (il grafico sub A è quello di un valore assoluto).
* per k = 0 due intersezioni sugli zeri O(0, 0) e Z(3, 0) del grafico sub A.
* per 0 < k < yW = 9/4 quattro intersezioni ((3 ± √(9 ± 4*k))/2, k).
* per k = yW = 9/4 tre intersezioni ((3/2)*(1 ± √2), 9/4) e W(3/2, 9/4).
* per k > yW = 9/4 due intersezioni ((3 ± √(9 + 4*k))/2, k).
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Quesito C
Per x = 2 si ha y = |2^2 - 3*2| = 2 e il punto di tangenza T(2, 2).
Essendo xT compreso fra gli zeri la pendenza è quella di y = 3*x - x^2 cioè
* m(x) = 3 - 2*x
che in T vale
* m(2) = - 1
da cui
* t ≡ y = 2 - (x - 2) ≡ y = 4 - x
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D4-x%2Cy%3D%7Cx%5E2-3*x%7C%5Dx%3D-2to4
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Quesito D
Come si vede dal grafico sub C la richiesta area S della regione delimitata dalla retta t e dal grafico sub A è la differenza fra il segmento parabolico PVQ staccato da t sulla y = x^2 - 3*x e il doppio di quello OVZ staccato sulla stessa dall'asse x.
Con P(1 - √5, 3 + √5) e Q(1 + √5, 3 - √5) si ha
* S = (1 + √5 - (1 - √5))^3/6 - 2*(3 - 0)^3/6 = 20*√5/3 - 9
