Le circonferenze del fascio
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + k*x - (k + 4)*y + 2*k - 4 = 0 ≡
≡ (x + k/2)^2 + (y - (k + 4)/2)^2 = k^2/2 + 8
hanno centro C(- k/2, (k + 4)/2) e raggio r = √(k^2/2 + 8) >= √8.
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Eliminando il parametro dalle coordinate del centro
* (x = - k/2) & (y = (k + 4)/2) ≡
≡ (k = - 2*x) & (y = 2 - x)
si ottiene l'asse centrale del fascio (luogo dei centri), che è la retta parallela alla bisettrice dei quadranti pari di intercetta due.
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Intersecando
* Γ(0) & Γ(1) ≡
≡ ((x + 0/2)^2 + (y - (0 + 4)/2)^2 = 0^2/2 + 8) & ((x + 1/2)^2 + (y - (1 + 4)/2)^2 = 1^2/2 + 8) ≡
≡ (x^2 + (y - 2)^2 = 8) & ((x + 1/2)^2 + (y - 5/2)^2 = 17/2) ≡
≡ A(- 2, 0) oppure B(2, 4)
si ottiene, come congiungente dei due punti base, l'asse radicale del fascio
* AB ≡ y = 2 + x
che è la retta parallela alla bisettrice dei quadranti dispari di intercetta due.
Il segmento AB è lungo √32 = 4*√2.
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Γ(k) è tangente l'asse x se e solo se il modulo dell'ordinata di C eguaglia r
* |(k + 4)/2| = √(k^2/2 + 8) ≡ k = 4
da cui
* γ ≡ Γ(4) ≡ (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 4^2
di centro C4(- 2, 4) e raggio r4 = 4.
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Le coordinate del centro C'(x', y') simmetrico di C4(- 2, 4) rispetto all'asse radicale y = 2 + x si calcolano dalla simmetria assiale generica ponendo: m = 1, q = 2, x = - 2, y = 4.
* x' = ((1 - m^2)*x + 2*m*y - 2*m*q)/(m^2 + 1) = ((1 - 1^2)*(- 2) + 2*1*4 - 2*1*2)/(1^2 + 1) = 2
* y' = (2*m*x + (m^2 - 1)*y + 2*q)/(m^2 + 1) = (2*1*(- 2) + (1^2 - 1)*4 + 2*2)/(1^2 + 1) = 0
da cui, con raggio 4,
* γ' ≡ (x - 2)^2 + y^2 = 4^2 ≡ y = ± √(- x^2 + 4*x + 12)
che, per appartenere alle Γ(k), dovrebbe verificare il sistema
* (- k/2 = 2) & ((k + 4)/2 = 0) & (k^2/2 + 8 = 4)
evidentemente impossibile.
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L'area S comune ai cerchi di γ e γ', che hanno lo stesso raggio, è il doppio del segmento circolare basato sulla corda AB; solo che, per calcolarlo, serve l'angolo al centro.
Si fa prima con l'integrale della differenza fra la linea superiore di γ' e la linea inferiore dell'asse radicale, fra A e B
* S = 2*∫ [x = - 2, 2] (√(- x^2 + 4*x + 12) - (2 + x))*dx =
= 2*4*(π - 2) = 8*(π - 2)
