ES 425

y = ((a - 2)·x^3 + x^2)/(a·x^2 + 6·x + 1)

a. ammette asintoto obliquo

La funzione razionale fratta ammette asintoto obliquo se il rapporto fra i coefficienti di grado massimo (a-2) ed a fornisce il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo stesso. Ciò si verifica se esso è tale per cui :

a - 2 ≠ 0 ∧ a ≠ 0----> a ≠ 2 ∧ a ≠ 0

in tal caso si ha m = (a - 2)/a. Il grado di N(x) deve essere di una unità superiore del grado di D(x)

b. ammette asintoto orizzontale; 

Ammette asintoto orizzontale se risulta a - 2 = 0---> a = 2 ∧ a ≠ 0

In tal caso i gradi del N(x) e del D(x) sono gli stessi . L'asintoto orizzontale avrà equazione

y=1/a

c. non ammette né asintoto orizzontale né asintoto obliquo;

Deve risultare a ≠ 2 ∧ a = 0 in tal caso la differenza dei due gradi fra N(x) e D(x) è pari a 2 

d. ammette almeno un asintoto verticale.

Il denominatore deve avere o uno zero o due zeri ; ciò si verifica se il discriminante dell'equazione associata al trinomio del D(x) non è negativo:

a·x^2 + 6·x + 1 = 0---> Δ/4 ≥ 0

3^2-a ≥ 0 quindi a ≤ 9

$ f(x) = \frac {(a-2)x^3 + x^2} {ax^2+6x+1} $

a.   ammette un asintoto obliquo. Si tratta di calcolare i due parametri m, q e imporre che siano reali e che m non valga 0.

$ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac {f(x)}{x} = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac {(a-2)x^3+x^2}{ax^3+6x^2+x} = \frac{a-2}{a} $

m è coerente con il coefficiente angolare di un asintoto obliquo se a ≠ 0 ∧ a ≠ 2.

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) - mx = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac {(a-2)x^3 + x^2} {ax^2+6x+1} - \frac{a-2}{a} x = \frac {-5a+12}{a^2} $

q è coerente con l'ordinata all'origine di un asintoto obliquo se a ≠ 0.

Conclusione. La funzione ammette un asintoto obliquo per a reale purché sia a ≠ 0 ∧ a ≠ 2.

b.  Asintoto orizzontale. L'asintoto orizzontale non è altro che un asintoto obliquo con m = 0, per cui a = 2.

c.  Per esclusione a = 0

d.  Ammette almeno un asintoto verticale. E' necessario che il denominatore ammetta almeno una radice, cioè il discriminante del trinomio deve essere positivo o nullo.

$ Δ(ax^2+6x+1) = -4(a-9) \ge 0 \; ⇒ \; a \le 9 $