es 417 e 418

In effetti è come dici tu.

Nell'equazione 417, potrebbe rappresentare un fascio di rette se fosse combinazione lineare del tipo:

h*(ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0

Siccome invece risulta: h·(x + 2·y) - k·(x + 3·y) + 2 = 0

non è un fascio di rette

Lo stesso dicasi per la seconda (la 418): per via del k^2

(k·x - x) + (k^2·y - k·y) - 3·k + 1 = 0

Se fosse un fascio di rette la dovresti riportare ad un'equazione del tipo:

(ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0

417) (h - k)*x + (2*h - 3*k)*y + 2 = 0 ≡
≡ (h = 0) & (k = 0) & (2 = 0)
oppure
≡ (h != 0) & (k = h) & (y = 2/k)
oppure
≡ (h != 0) & (k = (2/3)*h) & (x = - 6/h)
oppure
≡ (k != (2/3)*h != 0) & (y = ((k - h)*x - 2)/(2*h - 3*k))
rappresenta una famiglia di rette con due gradi di libertà.
I due parametri (h, k) non possono essere entrambi nulli [il testo non lo dice!].
Le due rette parallele agli assi escludono il fascio improprio, e s'intersecano in C(- 6/h, 2/k) potenziale centro di fascio proprio.
La verifica sul caso generico
* ((k - h)*(- 6/h) - 2)/(2*h - 3*k) = 2/h != 2/k
non va a buon fine, quindi la famiglia 417 non forma un fascio.
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La famiglia di rette
418) ((k - 1)*x + (k^2 - k)*y - 3*k + 1 = 0) & (k != 1) ≡
≡ (k = 0) & (x = 1)
oppure
≡ (k = 1/3) & (y = - 3*x)
oppure
≡ (k != 0) & (k != 1) & (y = ((1 - k)*x + 3*k - 1)/((k - 1)*k))
Le due rette dei casi particolari escludono il fascio improprio, e s'intersecano in C(1, - 3) potenziale centro di fascio proprio.
La verifica sul caso generico
* ((1 - k)*1 + 3*k - 1)/((k - 1)*k) = 2/(k - 1) != - 3
non va a buon fine, quindi la famiglia 418 non forma un fascio.