es 340 p 1888

Il regolamento consente una sola domanda (esercizio) per post. Puoi sempre postare l'altro esercizio.

$ f(x) = \frac{ax^3+b}{cx^2+d} $

a. Possiede un asintoto verticale per in x = 1. 

In altre parole il

$ \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{ax^3+b}{cx^2+d} = \infty $

Questo significa che $cx^2+d \to 1 = 0 \; ⇒ \; c+d = 0  \; ⇒ \; d = -c $

La funzione avrà la forma  

$ f(x) = \frac{ax^3+b}{cx^2-c} $

b. Possiede un asintoto obliquo di equazione y = 2x

Calcoliamo il coefficiente angolare m

$ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} $

$ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ax^3+b}{cx^3-cx} = 2 \; ⇒ \; a = 2c $ 

La funzione avrà la forma  

$ f(x) = \frac{2cx^3+b}{cx^2-c} $

Calcoliamo l'intercetta q che deve essere q = 0.

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) - mx = 0 $

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) - 2x = 0 \; ⇒ \; \frac{2cx^3+b-2cx^3+2cx}{c(x^2-1)} → 0 \; ⇒ \; \frac{b+2cx}{c(x^2-1)} → 0 $ e questo è verificato.

c. f(x) ha un flesso in x = 0 cioè derivata seconda f"(0) = 0.

• Derivata seconda. f"(x) = $ \frac {2(3bx^2+b+2cx^3+bcx}{c(x-1)^3(x+1)^3} = 0 $

f"(0) $= \frac {0+b+0+0}{c(-1)(1)} = 0 \; ⇒ \; b = 0  $ 

La funzione avrà la forma  

$ f(x) = \frac{2cx^3}{cx^2-c} = $

semplificando le c

$ f(x) = \frac{2x^3}{x^2-1}$