Considera il fascio di rette di equazione $(k+2) x-y-2 k-4=0$. Determina l'equazione della retta $r$ del fascio passante per $P(1,2)$ e, utilizzando opportune rotazioni, scrivi le equazioni delle rette del fascio che formano con $r$ un angolo di $\frac{\pi}{4}$.
$$
\left[r: y=-2 x+4 ; y=-\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}, y=3 x-6\right]
$$
Potreste svolgerlo, grazie!
151
punti
Livello 1
(k + 2)·x - y - 2·k - 4 = 0
passa per [1, 2]:
(k + 2)·1 - 2 - 2·k - 4 = 0----> -k - 4 = 0
k = -4
Quindi:
(-4 + 2)·x - y - 2·(-4) - 4 = 0
- 2·x - y + 4 = 0---> y = 4 - 2·x retta r
coefficiente angolare m = -2
(r: retta del fascio per il punto dato)
Determino ora il centro del fascio:
k·(x - 2) + 2·x - y - 4 = 0
quindi:
{x - 2 = 0
{2·x - y - 4 = 0
risolvo ed ottengo: [x = 2 ∧ y = 0]
Quindi [2, 0]
La generica retta del fascio ha equazione: y = x·(k + 2) - 2·k - 4
quindi il coefficiente angolare vale: μ = k+2
La relazione che esprime l'angolo fra due rette di dati coefficienti angolari è:
TAN(α) = ABS((m - μ)/(1 + m·μ))
In essa dobbiamo porre:
α = pi/4
m = -2 e μ = k+2 da ricavare
TAN(pi/4) = ABS((-2 - μ)/(1 + (-2)·μ))
1 = ABS((μ + 2)/(2·μ - 1))
Quindi, liberando il modulo ho due possibilità:
(μ + 2)/(2·μ - 1) = 1 v (μ + 2)/(2·μ - 1) = -1
Dalla prima ottengo: μ = 3
Dalla seconda ottengo: μ = - 1/3
A cui corrispondono due rette fra loro perpendicolari e passanti per il centro [2, 0] del fascio:
y = 3·(x - 2)----> y = 3·x - 6
y = - 1/3·(x - 2)----> y = 2/3 - x/3
90049
punti
Genius II
