Una circonferenza è tangente all'asse y e ha raggio 2. Scrivi l'equazione della circonferenza sapendo che questa si stacca sulla bisettrice del 1°- 3° quadrante una corda di misura 2radq2.
Una circonferenza è tangente all'asse y e ha raggio 2. Scrivi l'equazione della circonferenza sapendo che questa si stacca sulla bisettrice del 1°- 3° quadrante una corda di misura 2radq2.
Se la bisettrice del I, III quadrante (y=x, coefficiente angolare m=1) stacca una corda di lunghezza 2*radice (2), gli estremi della corda avranno ascisse e ordinate che distano tra loro 2.
I punti di intersezione tra la retta e la circonferenza hanno coordinate:
P(x0, x0)
Q(x0 + 2, x0 + 2)
Le circonferenze tangenti all'asse y, di raggio r=2 che staccano una corda di lunghezza 2*radice (2) con la bisettrice y=x, hanno centro di coordinate C( 2, yc) oppure C( - 2, - yc) vista la simmetria del problema.
Determino le circonferenze con centro C(2,yc)
Il punto C è equidistante da P, Q. Imponendo la condizione:
CP=CQ
si ottiene:
(2-x0)² + (Yc - y0)² = x0² + (yc-2-x0)²
Sviluppando i conti:
4yc = 8x0
x0 = (1/2)*yc
Essendo CP=CQ= 2, sostituendo il valore di x0 trovato nell'espressione di CP si ottiene:
(2- yc/2)² + (1/4)*yc² = 4
-2yc + (1/2)* yc² = 0
Da cui si ricava:
yc=0, yc=4
Per yc=0 si ottiene:
(x-2)² + y² = 4
x² + y² - 4x = 0
Per yc = 4 si ottiene:
(x-2)² + (y-4)² = 4
x² + y² - 4x - 8y + 16 = 0
Per simmetria si determinano le altre due circonferenze
Ciao di nuovo
Sono due le possibili circonferenze che soddisfano al requisito della tangenza all'asse delle y:
(x - 2)^2 + (y - h)^2 = 2^2 e (x + 2)^2 + (y - h)^2 = 2^2
Quindi devi mettere a sistema, separatamente la prima con la bisettrice y =x e poi la seconda con la stessa bisettrice. Siccome i calcoli sono ripetitivi svolgo solo il primo sistema lasciando a te poi il seguente.
{x^2 + y^2 - 4·x - 2·h·y + h^2 = 0
{y = x
Quindi per sostituzione si arriva a : 2·x^2 - 2·x·(h + 2) + h^2 = 0
Affinché abbia soluzioni distinte deve essere:
Δ/4 > 0------> (h + 2)^2 - 2·h^2 > 0
- h^2 + 4·h + 4 > 0-------> 2 - 2·√2 < h < 2·√2 + 2
(-0.8284271247 < h < 4.828427124)
Risolvendo l'equazione precedente si ottiene:
x = - (√(- h^2 + 4·h + 4) - h - 2)/2 ∨ x = (√(- h^2 + 4·h + 4) + h + 2)/2
essendo y=x si ha:
Δx = Δy = (√(- h^2 + 4·h + 4) + h + 2)/2 + (√(- h^2 + 4·h + 4) - h - 2)/2
quindi:
Δx = Δy = √(- h^2 + 4·h + 4)
Quindi come richiesto, poniamo:
√(2·√(- h^2 + 4·h + 4)^2) = 2·√2
√2·√(- h^2 + 4·h + 4) = 2·√2
- h^2 + 4·h + 4 = 4
h = 4 ∨ h = 0
e quindi:
(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 2^2------> x^2 + y^2 - 4·x - 8·y + 16 = 0
(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 2^2-------> x^2 + y^2 - 4·x = 0