ES 305

V= [sin (a) ; 1-2*sin²(a)]

Luogo geometrico 

{x= sin a , - 1<=x<=1

{y= 1-2*sin²(a) => y= 1-2x²

Domanda A) 

Vertice appartenente al primo quadrante 

{x, y>0

Quindi 

{sin(a) > 0 => 0<a<pi

{1-2*sin²(a) > 0 => - radice (2)/2 < sin(a) < radice (2)/2

L'intersezione delle due condizioni fornisce la soluzione 

0<a<pi/4  v (3/4)*pi<a<pi

Domanda B) 

Distanza tra il vertice e l'origine maggiore di uno. Quindi:

4*sin²(a) - 3 > 0

Da cui: sin(a) < - radice (3)/2  v  sin(a) > radice (3)/2

Il primo punto

y = x^2 - 2·x·SIN(α) + COS(α)^2

con 0 ≤ α ≤ 2·pi

a = 1; b = - 2·SIN(α); c = COS(α)^2

[- b/(2·a), - Δ/(4·a)] coordinate del vertice

- b/(2·a) = - (- 2·SIN(α))/2----> - b/(2·a) = SIN(α)

- Δ/(4·a) = - ((- 2·SIN(α))^2 - 4·COS(α)^2)/4

- Δ/(4·a) = 2·COS(α)^2 - 1

Quindi: V(SIN(α), 2·COS(α)^2 - 1)

Per l'appartenenza al 1° quadrante:

{SIN(α) > 0

{2·COS(α)^2 - 1 > 0

ciò comporta che:

{0 < α < pi

{0 < α < pi/4 ∨ 3/4·pi < α < pi

Quindi:[0 < α < pi/4 ∨ 3/4·pi < α < pi]

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Problema sui vertici di una famiglia di parabole con assi paralleli all'asse y.
Con
* sin(α) = k
* cos^2(α) = 1 - k^2
* 0 <= α <= 2*π ≡ - 1 <= k <= 1
il fascio
* (Γ(α) ≡ y = x^2 - 2*x*sin(α) + cos^2(α)) & (0 <= α <= 2*π)
diventa
* (Γ(k) ≡ y = x^2 - 2*k*x + (1 - k^2)) & (- 1 <= k <= 1)
che, per me, ha una forma più agevole da manipolare.
Espressa in funzione del vertice V(xV, yV) la generica parabola diventa
* Γ(k) ≡ y = (x - k)^2 - (2*k^2 - 1)
dove
* (xV = k) & (yV = - (2*k^2 - 1))
da cui, eliminando k, il luogo richiesto nella clausola "infine"
* (y = 1 - 2*x^2) & (- 1 <= x <= 1)
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Quesito A: V nel primo quadrante
* (xV >= 0) & (yV >= 0) & (- 1 <= k <= 1) ≡
≡ (k >= 0) & (- (2*k^2 - 1) >= 0) & (- 1 <= k <= 1) ≡
≡ (- (2*k^2 - 1) >= 0) & (0 <= k <= 1) ≡
≡ (0 <= k <= 1/√2) & (0 <= k <= 1) ≡
≡ (0 <= sin(α) <= 1/√2) & ((0 <= α <= π) oppure (α = 2*π)) ≡
≡ (0 <= sin(α) <= 1/√2) & (0 <= α <= π) oppure (0 <= sin(α) <= 1/√2) & (α = 2*π) ≡
≡ (0 <= α <= π/4) oppure (3*π/4 <= α <= π) oppure (α = 2*π)
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Quesito B: V esterno alla circonferenza x^2 + y^2 = 1
* (xV)^2 + (yV)^2 > 1 ≡
≡ (k^2 + (- (2*k^2 - 1))^2 > 1) & (- 1 <= k <= 1) ≡
≡ ((k < - √3/2 ~= 0.866) oppure (k > √3/2 ~= 0.866)) & (- 1 <= k <= 1) ≡
≡ (k < - √3/2) & (- 1 <= k <= 1) oppure (k > √3/2) & (- 1 <= k <= 1) ≡
≡ (sin(α) < - √3/2) & (0 <= α <= 2*π) oppure (sin(α) > √3/2) & (0 <= α <= 2*π) ≡
≡ (4*π/3 < α < 5*π/3) oppure (π/3 < α < 2*π/3)
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Sono convinto che la specificazione "α ∈ [0, 2*π]" sia un errore di composizione sopravvissuto alla revisione delle bozze e che la specificazione originale fosse "α ∈ [0, 2*π)".