ES 304

Ti svolgo i due punti

a) y = SIN(x) + √3·COS(x) + t

Utilizzo le equazioni parametriche:

{SIN(x) = 2·k/(1 + k^2)

{COS(x) = (1 - k^2)/(1 + k^2)

Avendo posto:

k = TAN(x/2)

Quindi trasformi la funzione data che metto a sistema con asse x:

{y = 2·k/(1 + k^2) + √3·(1 - k^2)/(1 + k^2) + t

{y = 0

2·k/(1 + k^2) + √3·(1 - k^2)/(1 + k^2) + t = 0

(k^2·(t - √3) + 2·k + t + √3)/(k^2 + 1) = 0

k^2·(t - √3) + 2·k + t + √3 = 0

Impongo: Δ/4 < 0

1 - (t - √3)·(t + √3) < 0

4 - t^2 < 0------> t^2 - 4 > 0-----> t < -2 ∨ t > 2

Per tali valori di t la funzione non interseca l'asse delle x

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b)

y = SIN(x) + √3·COS(x) + t

Impongo le condizioni necessarie per ottenere i punti di stazionarietà:

y'=0

COS(x) - √3·SIN(x) = 0

TAN(x) = 1/√3

x = pi/6 + k·pi

Prendo per x due valori successivi: uno sarà il max e l'altro il min

y = SIN(pi/6) + √3·COS(pi/6) + t

y=t+2

y = SIN(7/6·pi) + √3·COS(7/6·pi) + t

y = t - 2

posto t=1:

ottengo y=3 max

y=-1 min

per cui la funzione sinusoidale oscilla fra -1 e 3

Ciao.

La funzione:

y = SIN(x) + √3·COS(x) + t

è pari ad una funzione sinusoidale traslata di t:

y = Α·SIN(x + φ) + t

Quindi limitiamoci a considerare solo i primi due addendi:

y = SIN(x) + √3·COS(x)  e  y = Α·SIN(x + φ)

da cui ricavare l'ampiezza A (metodo dell'angolo aggiunto)

Α·SIN(x + φ) = Α·(SIN(x)·COS(φ) + SIN(φ)·COS(x))

da cui:

{Α·COS(φ) = 1

{Α·SIN(φ) = √3

Dividiamo membro a membro:

TAN(φ) = √3---> φ = pi/3 + k·pi

Consideriamo: φ = pi/3

{Α·COS(pi/3) = 1

{Α·SIN(pi/3) = √3

In ogni caso si ottiene: Α = 2

Quindi la sinusoide privata di t ha immagine: [-2,2]

Se si vuole che tale immagine sia in [-1,3]

sarà sufficiente traslarla di una unità e quindi prendere t=1

La funzione
* y = g(x) = sin(x) + (√3)*cos(x) = 2*cos(π/6 - x)
ha insieme immagine
* - 2 <= y <= 2 ≡ [- 2, 2]
che si trasla su [- 1, 3] aggiungendo uno e oltre l'asse x aggiungendo un po' più di due; quindi:
a) per i valori t > 2;
b) per il valore t = 1.