Un quadrilatero $A B C D$ è inscritto in una circonferenza. La diagonale $A C$ coincide con il diametro della circonferenza e misura $2 r$. Il triangolo $A B C$ è un triangolo isoscele. Determina la posizione del vertice $D$ sulla semicirconferenza che non contiene $B$ in modo che $\overline{A D}+\overline{C D}+\sqrt{2} \overline{B D}=2 r \sqrt{6}$.
Potreste svolgerlo, vi ringrazio tanto
155
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Livello 1
con riferimento alla figura di sopra:
2·r·COS(x) + 2·r·SIN(x) + √2·(2·r·SIN(x + pi/4)) = 2·r·√6
COS(x) + SIN(x) + √2·SIN(x + pi/4) = √6
√2·SIN(x + pi/4) = COS(x) + SIN(x)
COS(x) + SIN(x) + (COS(x) + SIN(x)) = √6
COS(x) + SIN(x) = √6/2
pongo:
{COS(x) = Χ
{SIN(x) = Υ
Risolvo:
{Χ^2 + Υ^2 = 1
{Χ + Υ = √6/2
2 soluzioni:
Υ = √6/4 + √2/4 ∧ Χ = √6/4 - √2/4
{SIN(x) = √6/4 + √2/4
{COS(x) = √6/4 - √2/4
quindi: x = 5·pi/12
{SIN(x) = √6/4 - √2/4
{COS(x) = √6/4 + √2/4
quindi: x = pi/12
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Genius II
