Conosco l'eccentricità, un punto in cui passa l'ellisse e l'asse in cui si trovano i fuochi.
Scrivo l'equazione canonica dell'ellisse centrata nell'origine, sostituendo a $x$ e $y$ le coordinate del punto in cui passa:
$\dfrac{16}{a^{2}} + \dfrac{5}{b^{2}} \, = \, 1$
Sapendo che l'asse su cui passano i fuochi è l'asse delle ascisse l'eccentricità $e$ vale:
$e \, = \, \sqrt{\dfrac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}}}$
$e^{2} \, = \, \dfrac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}}$
Adesso si tratta di risolvere il sistema:
$\left\{ \begin{array}{c@{=}c} \dfrac{16}{a^{2}} + \dfrac{5}{b^{2}} \, = \, 1 \\ e^{2} \, = \, \dfrac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} \end{array}\right\}$
Chiamo $\alpha \, = a^{2}$ e $\beta \, = \, b^{2}$
$\left\{ \begin{array}{c@{=}c} \dfrac{16}{\alpha} + \dfrac{5}{\beta} \, = \, 1 \\ e^{2} \, = \, \dfrac{\alpha - \beta}{\alpha} \end{array}\right\}$
Moltiplico la prima equazione per $\alpha$ in modo da ottenere $16 + \dfrac{5 \alpha}{\beta} \, = \, \alpha$
successivamente metto come denominatore comune $\beta$ e dopo aver svolto i calcoli trovo che $\alpha \, = \, \dfrac{16 \beta}{\beta -5}$
sostituisco il valore trovato nella seconda equazione e dopo aver svolto i calcoli trovo che $\alpha \, = \, 36$ e $\beta \, = \, 9$
L'equazione dell'ellisse è: $\dfrac{x^{2}}{36} + \dfrac{y^{2}}{9} \, = \, 1 \, \longrightarrow \, x^{2} + 4y^{2} \, = \, 36$
I fuochi hanno coordinate :$F_{1} \, = \, (-c,0)$ $F_{2} \, = \, (c,0)$ dove $c \, = \, \sqrt{a^{2} - b^{2}}$
facendo i calcoli le coordinate sono $F_{1} \, = \, (-3 \sqrt{3}, 0)$ e
$F_{2} \, = \, (3 \sqrt{3}, 0)$
I vertice della base hanno coordinata $x \, = \, 3 \sqrt{3}$ e sostituendo questo valore nell'equazione dell'ellisse si trova che i valori $y$ sono $y_{1} \, = -\dfrac{3}{2}$ e $y_{2} \, = \, \dfrac{3}{2}$
Il vertice $C$ del triangolo si trova all'estremità sinistra dell'ellisse con coordinata $x \, = \, -6$
La base del triangolo vale $3$ e l'altezza $3 \sqrt{3} + 6 \, = 3 \cdot(\sqrt{3} + 2)$
L'area del triangolo inscritto vale quindi: $\dfrac{9}{2} \cdot (\sqrt{3} +2)$.