In un triangolo $A B C$ il lato $B C$ è doppio del lato $A B$ e $A \widehat{B} C$ è ottuso. Sapendo che $\sin A \widehat{B} C=\frac{\sqrt{15}}{4}$ e che il peri. meto del triangolo è $(9+3 \sqrt{6}) \mathrm{cm}$, determina le lunghezze dei lati del triangolo.
$[3 \mathrm{~cm} ; 6 \mathrm{~cm} ; 3 \sqrt{6} \mathrm{~cm}$ ]
Potreste svolgerlo, ho applicato il teorema del coseno ma non esce. Grazie
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Livello 1
Dati
a = 2·c
pi/2 < β < pi
SIN(β) = √15/4----> COS(β) = - √(1 - (√15/4)^2) = - 1/4
2·p = perimetro del triangolo ABC = a + b + c = 9 + 3·√6
Figura di riferimento:
b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·COS(β) (Th Carnot)
b^2 = (2·c)^2 + c^2 - 2·(2·c)·c·(- 1/4)
b^2 = 6·c^2
Poi sappiamo che:
2·c + b + c = 9 + 3·√6----> b + 3·c = 3·√6 + 9
quindi: b = - 3·c + 3·√6 + 9
(- 3·c + 3·√6 + 9)^2 = 6·c^2
Sviluppando si arriva all'equazione di 2° grado che fornisce:
3·c^2 - c·(18·√6 + 54) + 54·√6 + 135 = 0
e risolvendola: c = 6·√6 + 15 ∨ c = 3
c = 6·√6 + 15---> b = - 3·(6·√6 + 15) + 3·√6 + 9
b = - 15·√6 - 36 SI SCARTA
c = 3 cm OK!
b = - 3·3 + 3·√6 + 9----> b = 3·√6 cm
a = 2·c---> a = 2·3 = 6 cm
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Genius II
@lucianop grazie mi ero dimenticata il meno al coseno
Di nulla, buona giornata.
