Nel triangolo rettangolo $A B C$, di ipotenusa $B C$, si ha $\overline{A B}=7 a$ e $A \widehat{B C}=\arccos \frac{7}{25}$. Sia $I$ il centro della circonferen. za inscritta nel triangolo; determina le distanze di $I$ dai tre vertici del triangolo.
$$
[\overline{A I}=3 a \sqrt{2} ; \overline{B I}=5 a ; \overline{C I}=15 a \sqrt{2}]
$$
Potreste svolgerlo, grazie !
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Livello 1
Con riferimento alla figura di sotto
ΒC = ΑΒ/COS(β)---> ΒC = 7·a/(7/25) = 25·a
(ΑΒ = 7·a; COS(β) = 7/25)
ΑC = altro cateto =√((25·a)^2 - (7·a)^2)= 24·a
2·p = perimetro= 24·a + 7·a + 25·a = 56·a
1/2·r·(2·p) = 1/2·(7·a)·(24·a)---> 28·a·r = 84·a^2
r = 3·a (in figura a=1)
ΑΙ = √((3·a)^2 + (3·a)^2)-----> ΑΙ = 3·√2·a
BΙ = √((7·a - 3·a)^2 + (3·a)^2)-----> BΙ = 5·a
CΙ = √((24·a - 3·a)^2 + (3·a)^2)-----> CΙ = 15·√2·a
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Genius II
L'esercizio é molto semplice.
Osserviamo che BC cos B^ = AB
BC * 7/25 = 7a
BC = 25a
per il Teorema di Pitagora AC = rad(625a^2 - 49a^2) = a rad 576 = 24 a
e il raggio della circonferenza inscritta é
r = (AB + AC - BC)/2 = (7a + 24a - 25a)/2 = 3a
Ora si deve determinare AI = rad ((3a)^2 + (3a)^2) = rad(18 a^2) = 3a rad 2
BI = rad [ (3a)^2 + (7a - 3a)^2 ] = rad (9a^2 + 16a^2) = rad (25 a^2) = 5a
CI = rad [(24a - 3a)^2 + (3a)^2] = rad (441 a^2 + 9a^2 ) = a rad (450) =
= 15 a rad 2.
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Livello 7
