[Risolto] ES 182

Puoi cominciare ad osservare che spostando con continuità P da C a D l'angolo x varia da pi/4 a pi/2

che l'area di ADQ é fissa e pari a 1/2 AD * h = 1/2 * a * a = a^2/2 e la sua ottava parte é dunque a^2/16

e inoltre che

AP sin x = a

AP = a/sin x 

DP = AP cos x = a cos x/sin x = a /tg x

PC = a - a/tg x = a(1 - 1/tg x) = a (tg x - 1)/tg x

PC = PQ cos (pi/2 - x) = PQ sin x

CQ = PQ sin (pi/2 - x) = PQ cos x

CQ/PC = 1/tg x

CQ = PC/tg x

S[PCQ] = 1/2 PC*CQ = 1/2 PC^2/tg x = a^2/2 (tg x - 1)^2/tg^3(x) <= a^2/16

che può essere riordinata in

8 ( tg x - 1)^2 <= tg^3 (x)

tg^3(x) - 8 tg^2(x) + 16 tg (x) - 8 >= 0

Questa la svolgerai con la Regola di Ruffini tenendo conto che

cerchi solo radici positive perché x é nel primo quadrante.

Puoi provare per verifica a mano che tg x = 2 é una radice.

Il resto lo scriverò più tardi ma puoi farlo facilmente da sola

Aggiornamento e conclusioni

Posto tg(x) = t, e scomponendo con la regola di Ruffini, si ottiene

(t - 2) (t^2 - 6t + 4) >= 0

t = (3 +- rad(9 - 4)) = 3 +- rad(5)

e quindi ( dovendo essere t >= 1 per limitazioni del problema

il segno é positivo in

1 <= t <= 2 V t >= 3 + rad(5)

che significa

pi/4 <= x <= arctg*(2) V arctg*(3 + rad(5)) <= x <= pi/2