Inscrivi un triangolo $A B C$ in una semicirconferenza di diametro $\overline{A B}=4$ in modo che l'angolo in $B$ risulti maggiore dell'angolo in $A$. Prolunga $A C$ fino a intersecare in $T$ la tangente in $B$ alla circonferenza e trova per quali valori di $x=A \widehat{B} C$ si ha $3 \overline{C T}+\sqrt{3} \overline{C B}=2 \overline{A C}$.
$\left[60^{\circ}\right]$
25
punti
Livello 0
B^ = x => A^ = pi/2 - x e ATB^ = pi/2 - (pi/2 - x) = x
CB = 4 cos x, AC = 4 sin x
ABC é rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza
0 < x < pi/2
ATB é rettangolo in B per perpendicolarità di raggio e tangente in B
e così AT sin x = AB => AT = 4/sin x
CT = AT - AC = 4/sin x - 4 sin x
3 * 4 (1/sin x - sin x) + rad(3) * 4 cos x = 2 * 4 sin x
3 - 3 sin^2(x) + rad(3) sin x cos x = 2 sin^2(x)
é la risolvente
5 sin^2 (x) - rad(3) sin x cos x - 3 sin^2(x) - 3 cos^2(x) = 0
2 tg^2(x) + rad(3) tg x - 3 = 0
tg x = (rad(3) +- rad(3+24))/4 = ... = rad(3)
x = pi/3 o 60°
45529
punti
Livello 7
@eidosm potresti spiegare che calcolo hai fatto con le radici?
tg x = (rad(3) +- rad(3+24))/4 = (rad(3) +- rad(27))/4 =
= (rad(3) +- rad(3^3))/4 = (rad(3) +- 3 rad(3))/4 = 4 rad(3)/4 V -2 rad(3)/4
puoi accettare solo la radice positiva che é rad(3)
