[Risolto] es 172

Ciao di nuovo.

Sfrutto la simmetria dei due luoghi geometrici che hanno rispetto all'asse x.

Innanzitutto mi accorgo che è data una circonferenza disegnabile interamente nel 1° e 4° quadrante per cui la parabola dovrà essere del tipo x=ay^2 con a>0 se voglio ottenere i due punti di tangenza.

Quindi procedo nel seguente modo:

Risolvo entrambe le equazioni: 

x^2 + y^2 - 8·x + 12 = 0------> y = - √(- x^2 + 8·x - 12) ∨ y = √(- x^2 + 8·x - 12)

x = a·y^2--------> y = - √(x/a) ∨ y = √(x/a) 

deve anche essere x > 0 avendo già supposto che a>0

Considero quindi solo i due rami positivi, per la simmetria del problema.

Quindi vado a risolvere il sistema:

{y = √(- x^2 + 8·x - 12)

{y = √(x/a)

procedo quindi con sostituzione:

√(- x^2 + 8·x - 12) = √(x/a)

- x^2 + 8·x - 12 = x/a

- a·(x^2 - 8·x + 12) - x = 0

- a·x^2 + x·(8·a - 1) - 12·a = 0

condizione di tangenza: Δ = 0

(8·a - 1)^2 - 4·a·12·a = 0

16·a^2 - 16·a + 1 = 0

risolvo ed ottengo: a = - (√3 - 2)/4 ∨ a = (√3 + 2)/4

Per quanto concerne la a tutte e due le soluzioni vanno bene (equazione di 2° grado con 2 variazioni e quindi 2 radici positive). Bisogna controllare la x.

Si può verificare che per  il primo valore di a si ha una x negativa: x = - 2·√3

che non va bene! mentre per il secondo valore di a si ha: x = 2·√3 OK!

Quindi la parabola ha equazione:

x = (√3 + 2)/4·y^2

E MENO MALE CHE TRASCRIVI QUASI BENE QUASI TUTTO: ti costerebbe davvero troppo allegare una foto decente di un foglio piatto ripreso di fronte e ben illuminato?
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La parabola con asse di simmetria coincidente con l'asse x ha equazione
* Γp(a, w, h) ≡ x = w + a*(y - h)^2
se deve anche avere vertice nell'origine, cioè (w, h) = (0, 0), allora
* Γp(a) ≡ x = a*y^2
dove il segno dell'apertura "a != 0" dipende dal verso in cui deve orientarsi la concavità, cioè da dov'è localizzata la circonferenza che in tale concavità dev'essere compresa; mentre il modulo dipende dalla condizione di tangenza.
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La circonferenza
* Γc ≡ x^2 + y^2 - 8*x + 12 = 0 ≡
≡ (x - 4)^2 + y^2 = 2^2
di centro C(4, 0) e raggio r = 2, indica a > 0 dovendo avere la concavità rivolta verso x > 0.
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La condizione di bitangenza è che le quattro soluzioni del sistema Γp & Γc siano reali e si presentino in coppie coincidenti.
* Γp & Γc ≡ (x = a*y^2) & ((x - 4)^2 + y^2 = 4) & (a > 0) ≡
≡ (x = a*y^2) & ((a*y^2 - 4)^2 + y^2 = 4) & (a > 0) ≡
≡ (x = a*y^2) & (y^4 + ((1 - 8*a)/a^2)*y^2 + 12/a^2 = 0) & (a > 0)
La biquadratica, ridotta con u = y^2,
* u^2 + ((1 - 8*a)/a^2)*u + 12/a^2 = 0
ha discriminante
* Δ(a) = (a^2 - a + 1/16)*(2/a)^4
Per la coincidenza servono le soluzioni di
* (a^2 - a + 1/16 = 0) & (a > 0) ≡ a = (2 ± √3)/4
da cui
* Γp1 ≡ x = (2 - √3)*y^2/4
* Γp2 ≡ x = (2 + √3)*y^2/4
che, essendo due, sono incompatibili con la natura geometrica del problema.
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VERIFICHE
1) Γp1 & Γc ≡ soluzioni complesse, curve non tangenti.
2) Γp2 & Γc ≡ T(2*√3, ± (2*√(√3)*√(4 - 2*√3))) ~= (3.5, 1.9), curve tangenti.