[Risolto] es 170

La figura é simmetrica rispetto all'asse y

e quindi basta considerare la parte destra con xT >= 0

L'equazione della circonferenza é

x^2 + (y - 2)^2 = r^2

x^2 + y^2 - 4y + 4 - r^2 = 0

Il punto di tangenza si trova sulla parabola per cui é (xT, xT^2)

La retta tangente alla parabola in T

é y - xT^2 = m(x - xT)

per cui la risolvente del sistema con y = x^2

x^2 - xT^2 - mx + mxT = 0

x^2 - mx + mxT - xT^2 = 0

ha discriminante nullo se D = m^2 - 4xT m + 4xT^2 = 0

(m - 2xT)^2 = 0

m = 2xT

Provo a svolgerlo senza le derivate :

il coefficiente angolare del raggio CT é

[C = (0,2),  T = (xT, xT^2)]

mr = (xT^2 - 2)/xT

e quello della tangente in T é l'antireciproco

mt = - xT/(xT^2 - 2) = xT/(2 - xT^2)

Per la condizione di tangenza simultanea

alle due curve deve risultare

xT/(2 - xT^2) = 2xT

e qui xT non può essere zero perché

altrimenti si incontra la soluzione degenere con r = 2

e un'unica tangente che é l'asse x.

Dunque dividendo per xT si trova

1/(2 - xT^2) = 2

e se xT^2 =/= 2

1 = 4 - 2xT^2

2xT^2 = 4 - 1

xT^2 = 3/2

xT = rad(3/2) prendendo solo la soluzione a destra xT > 0

Infine - sostituendo nell'equazione della circonferenza

x^2 + y^2 - 4y + 4 - r^2 = 0

3/2 + 9/4 - 4*3/2 + 4 - r^2 = 0

15/4 - 2 - r^2 = 0

r^2 = 7/4

r = rad(7)/2